Ayuda para comprender la fórmula de varianza alternativa
La definición de varianza con la que me siento cómodo es
$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$
Pero vi uno que se ve así y estoy luchando por ver cómo son equivalentes.
$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ fuente
Respuestas
El primer elemento que ha enumerado es la covarianza de$x_i$y$y_i$. La segunda fórmula que ha enumerado es la varianza de$x+y$(es decir$Var(x+y)$).
Para ver esto, tenga en cuenta que podemos escribir$Cov(X,Y)$como:
\begin{eqnarray*} {Cov(X,Y)} & = & E(XY)-E(X)(EY)\\ & = & \sum x_{i}y_{i}p_{XY}(x_ {i},y_{i})-\sum x_{i}p(x_{i},y_{i})\sum y_{i}p_{XY}(x_{i},y_{i})\ \ & = & p_{XY}(x_{i},y_{i})\left(\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}\right)\\ & = & \sum(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})p_{XY}(x_{i}y_{i}) \end{eqnarray*}
La segunda fórmula que ha enumerado se deriva de la fuente a la que se vinculó en la Sección de Variación.
Las dos fórmulas no son equivalentes.