Base para $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ implica axioma de elección?

Question

Dejar $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ denotar el espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$de secuencias de números reales, con multiplicación y suma definidas por componente. Es bien sabido que aunque el subespacio$\mathbb{R}^\infty$ de secuencias con sólo un número finito de términos distintos de cero tiene una base $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, esto no es una base de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (que expresa la secuencia constante $(1, 1, 1, \ldots)$ requeriría una suma infinita $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$, y las sumas infinitas en espacios vectoriales genéricos no están definidas). También se ha demostrado que la afirmación de que todos los espacios vectoriales tienen una base es equivalente al axioma de elección.

Me interesa, sin embargo, el espacio específico $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. ¿Se ha demostrado que una base para este conjunto requiere el axioma de elección y no puede describirse explícitamente? Esta no es una pregunta de tarea ni nada; Tengo curiosidad.

Answer 1

Ningún conjunto concreto que admita una determinada propiedad implicaría el axioma de elección. Período. El axioma de elección es una declaración global, y las declaraciones sobre un conjunto con una determinada propiedad son locales (no estoy hablando de una declaración global, por ejemplo, "Para cada conjunto$A$, $A\times X$ puede estar bien ordenado "implica el axioma de elección para cualquier conjunto fijo $X$, Eso es hacer trampa).

Siempre podemos tener el axioma de elección fallando, tanto como queremos que falle, mientras que los números reales, y todos los conjuntos que alguna vez te interesaron, pueden estar bien ordenados para que todos los espacios vectoriales "que importan" tengan un base. En otras palabras, el axioma de elección es un enunciado global, por lo que su negación no se trata de un conjunto. Se trata de la existencia de un contraejemplo.

(De hecho, ni siquiera sabemos si hay un campo $F$ tal que "Todos los espacios vectoriales sobre $F$ tener una base "implica el axioma de elección; hablar de enunciados globales disfrazados de enunciados locales).

Por otro lado, es consistente que todo conjunto de reales tiene la propiedad de Baire, lo que implica que todo conjunto lineal $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$es continuo. Por desgracia, al ser un espacio separable, solo puede haber$2^{\aleph_0}$funciones continuas; pero podemos mostrar fácilmente que una base de$\Bbb{R^N}$ debe tener tamaño $2^{\aleph_0}$ también, y por lo tanto habría $2^{2^{\aleph_0}}$funciones lineales simplemente inducidas por permutaciones de tal base. Y así, de hecho, si todos los conjuntos de reales tienen la propiedad de Baire, no hay base para$\Bbb{R^N}$ puede existir.