Cada función holomórfica en una variedad compleja compacta es localmente constante?
Sabemos que si $X$ es una variedad compleja conectada compacta, entonces cada función holomórfica en $X$es constante. Ahora, supongo que$X$no es necesariamente conectar, entonces podemos elegir un componente conectado. Sabemos que el componente conectado es un subconjunto cerrado y cada subconjunto cerrado de un conjunto compacto también es compacto. Entonces, el componente conectado también es compacto, entonces podemos deducir que cada función holomórfica en el componente conectado es constante. Entonces podemos deducir que toda función holomórfica en$X$ es localmente constante.
Creo que esto puede no estar bien, pero no puedo encontrar dónde está el problema en mi prueba en lo anterior.
Respuestas
Esto es correcto. Sin embargo, cuando la gente dice "colector compacto", casi siempre se refiere a colector compacto conectado. Más bien, generalmente no se gana nada al tratar con colectores compactos no conectados, ya que también podríamos simplemente mirar cada componente conectado.
(Para los colectores no compactos, esto es potencialmente más complicado, porque tenemos cosas como $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ que es una unión disjunta de dos variedades, pero son una especie de "conmovedor", y en cierto sentido inherentemente diferentes de $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, por ejemplo.)