Calcular el género de una curva sobre $\mathbb Q$
Estoy tratando de calcular el género de una curva sobre un campo no algebraicamente cerrado a través de Riemann-Hurwitz.
Dejar $K = \mathbb Q(t)$ con $t$ trascendental, y dejar $F$ ser la extensión de $K$ obtenido al unir una raíz de $$f(x) = x^2 - (t^2 - 10t - 5)$$
Ya que $K$está asociado al espacio proyectivo, tiene género cero. Dejar$g$ ser el género de una curva suave con campo funcional isomorfo a $F$. Entonces Riemann-Hurwitz dice que $$2g -2 = 2*(-2) + \sum_{P} e_P - 1$$ $$g = -1 + \frac 12 \sum_{P} e_P - 1$$
Desde el discriminante, parece que la curva se ramifica en dos puntos, $\infty$ y $(t^2 - 10t - 5)$ con índice de ramificación $2$en cada. Esto da$g=0$.
Si baso cambio a $\mathbb Q(\alpha)$ dónde $\alpha$ es una raíz de $t^2 - 10t - 5$, parece que el mapa ahora se ramificaría en tres puntos: $\infty$, $t-\alpha$y $t-\alpha'$, el conjugado de $\alpha$, todo con índice $2$. Pero eso haría que el género$1/2$ lo cual es absurdo, además del hecho de que pensé que el género era un invariante geométrico.
¿Por qué los dos parecen funcionar de manera diferente y, especialmente, qué está fallando con el último cálculo?
Respuestas
Aquí está la declaración del teorema de Riemann-Hurwitz al que aludí en los comentarios. (Rosen, Teoría de números en campos funcionales , Teorema 7.16, p. 90).
Teorema. Dejar$L/K$ser una extensión geométrica, separable y finita de campos de función. Entonces $$ \DeclareMathOperator{\D}{\mathfrak{D}} \DeclareMathOperator{\P}{\mathfrak{P}} 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \deg_L(\D_{L/K}) $$ dónde $\mathfrak{D}_{L/K}$ es el ideal diferente.
Si todos los primos ramificados de $L$ son mansamente ramificados (que es el caso aquí, ya que el campo de tierra tiene características $0$), entonces $\D_{L/K} = \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \P$, entonces la fórmula se convierte en $$ 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \deg_L(\P) \, . $$
Volviendo a tu ejemplo, tu error es que $F$ no se ramifica arriba $\infty$. Una forma geométrica de ver esto es la siguiente. Homogeneizar la curva definiendo$F$, obtenemos la curva $C: X^2 - (Y^2 - 10YZ - 5Z^2) = 0$, dónde $x = X/Z$ y $t = Y/Z$, y estamos considerando el mapa $\pi: C \to \mathbb{P}^1$, $[X:Y:Z] \mapsto [Y:Z]$. Computar$\pi^{-1}([1:0])$, conectamos $Z = 0$ en la ecuación para $C$, obteniendo $$ 0 = X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y) $$ entonces $\pi^{-1}([1:0]) = \{[1:1:0], [1:-1:0]\}$. Ya que$\sum_i e_i f_i = 2$ por la identidad fundamental, entonces $f_i = e_i = 1$, entonces $\pi$ está unramificado arriba $\infty$.
Para un enfoque más teórico del campo funcional, deje $s = 1/t$ y $r = x/t = xs$. Entonces el orden máximo de$F$ en el infinito es $R := \frac{\mathbb{Q}[r,s]}{(r^2 - (1 - 10s - 5s^2))}$. Para determinar la división anterior$\infty$, examinamos cómo $sR$factores. Usando la ecuación definiendo$R$, encontramos $sR = (r-1,s)(r+1,s)$, y estos números primos son distintos, por lo que $F$ está unramificado arriba $(s)$.
Dejar $\P = (x)$ y $P = (t^2 - 10t - 5)$. El campo de residuos de$\P = (x)$es \ begin {align *} \ frac {\ mathbb {Q} [t, x] / (x ^ 2 - (t ^ 2 - 10t - 5))} {(x)} \ cong \ frac {\ mathbb { Q} [t]} {(t ^ 2 - 10t - 5)} \ end {align *} que tiene dimensión$2$ como un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, entonces $\deg_L(\P) = 2$.
Aplicando Riemann-Hurwitz, tenemos \ begin {align *} 2g_L - 2 = 2 (2 \ cdot 0 - 2) + (e (\ P / P) - 1) \ deg_L (\ P) = -4 + (2 -1) \ cdot 2 = -2 \ end {align *} entonces$g_L = 0$, como esperábamos.