Cálculo de Spivak 5-15-vi $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2(x)+2x}{x+x^2}$

Question

Evalúe lo siguiente en términos de $\alpha = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}:$

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2 (x)+2x}{x+x^2}$$

Estoy atrapado en este. He intentado usar$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ seguido por $\cos^2(x)=1 - \sin^2(x)$ para conseguir todo en términos de $x$ y $\sin$. Luego lo intenté en términos de$x$ y $\cos$ (ya que $\cos$está en el denominador). También probé con fracciones parciales. Ayuda.

Answer 1

Podrías escribir $$\frac{\tan^2 x + 2x}{x + x^2} = \frac{\tan^2 x + 2x}{x(x+1)} = \frac{\dfrac{\sin x}{x} \cdot\dfrac{\sin x}{\cos^2 x} + 2}{x+1}$$ y use leyes de límites para obtener el límite $$\frac{\alpha \cdot 0 + 2}{1}$$

Answer 2

Dado,

$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}$ ,

Ahora tomando $"x"$ común de numerador y denominador,

obtenemos,

$$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}=\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}$$

Tal como lo conocemos, $Lim_{x\to0}\frac{tanx}{x}=1$

Entonces,

$$Lim_{x\to0}\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}=\frac{0\cdot1 +2}{1+0}=2$$

Answer 3

Ya que $\displaystyle \lim_{x\to 0} \cos x=1$, tenemos $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}x=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}x=\alpha$, es decir $\tan x=\alpha x+o(x)$.

Entonces $\tan^2 x=\alpha^2 x^2+o(x^2)$y $\tan^2 x+2x=2x+o(x)=x(2+o(1))$.

Luego $\frac{ \tan^2 x+2x}{x(1+x)}=\frac{2+o(1)}{1+x}$ y el limite como $x\to 0$ es 2.