Cálculo de Spivak: Capítulo 3 Problema 24b

Question

24b) Suponga que $f$ es una función tal que cada número $b$ puede ser escrito $b = f(a)$ por un número real $a$. Demuestra que hay una función$g$ tal que $f \circ g = I$

Creo que entiendo esta pregunta y cómo resolverla, pero estoy luchando por encontrar una manera de expresar mi solución de una manera matemáticamente rigurosa, particularmente cuando $f$no es inyectable. Esta es mi idea:

En primer lugar, si $f$ es inyectivo, entonces es trivial.

Dejar $g(x) = a$, dónde $x = f(a)$ para cualquier $a \in \text{domain}(f)$

Ya que $f$ es inyectivo, por definición hay un solo valor de $a$ que satisface $x = f(a)$ para cada $x$, lo que significa $g$está bien definido. Y$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (por definición de $g$), que por el supuesto de la pregunta es $\mathbb{R}$. También,$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, ya que $f$ y $g$son inyectables (pero ese hecho no es importante). Entonces$f(g(x))$ está definido para todos $x ∈ \mathbb{R}$. Finalmente,$f(g(x))$ = $f(a)$, dónde $x = f(a)$ para $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$.

Pero ahora si $f$no es inyectable, se vuelve más complicado. Si mantengo mi definición original de$g$, siendo "$g(x) = a$, dónde $x = f(a)$ para cualquier $a \in \text{domain}(f)$", entonces eso no funciona porque $g$ya no es una función. Porque desde$f$ no es inyectable, existen al menos 2 números $z$ y $w$ tal que $z \neq w$ pero $f(z) = f(w)$, lo que significa que existe $x$ tal que: $g(x) = z = w$.

Creo que la idea es simplemente redefinir $g$ simplemente "elegir" $z$ o $w$y asígnelo a $x$. Por ejemplo, podría elegir el más pequeño de los dos. La única diferencia que esto haría es ahora$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, en vez de $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$. Pero como ese hecho no era importante antes, la conclusión de la pregunta sigue siendo válida.

Esta es mi pregunta. ¿Cómo escribo explícitamente una definición de$g$ que "elige" el menor de $z$ o $w$? Además, recuerde que existen al menos 2 números zy w. Podría haber arbitrariamente más números tales que$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$y así. Y esa es solo una de las ramas arbitrarias, los valores comunes$f$Podría tomar. Podría haber un conjunto diferente de números$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ y así sucesivamente, que no son iguales a $f(z)$etc.

Esto está empezando a ser muy complicado. Como puedo expresar$g$ ¿matemáticamente?

Answer 1

La falacia que notaste es real, ¡bien hecho por detectarla! Lo que se le pide que muestre es básicamente el axioma de elección para los números reales. Es un axioma porque no se puede probar (la versión general) a partir de los otros axiomas de la teoría de conjuntos, aunque parece algo sensato.

Así que tienes dos opciones:

• Puede pasar por alto el hecho de que su definición tiene este problema y básicamente decir: "Bueno, simplemente elija cualquiera de las opciones, no hay nada extraño que ver aquí".
• Puede invocar el axioma de elección. Dice (directamente del artículo de Wikipedia): Para cualquier familia indexada$(S_i)_{i\in I}$ de conjuntos no vacíos (donde $I$ hay un conjunto de indexación) hay una familia $(x_i)_{i\in I}$ tal que $x_i \in S_i$ para cada $i\in I$. Te dejo a ti que averigües cómo llegar al reclamo de Spivak. (En realidad, mi formulación favorita del axioma de elección es básicamente lo que tienes que demostrar, pero no restringido a números).

Answer 2

Supongamos que existe una función de elección explícita $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$.

Dejar $A \subset \mathbb{R}$. Por definición,$C(A) = r$ para algunos $r \in \mathbb{R}$.

Tenga en cuenta que si $A \subset \mathbb{R}$, luego claramente: $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$.

Ahora define una función $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ recursivamente como sigue:

$A_1(A)$ = $A$

$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$

$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$

etcétera etcétera.

Formalmente:

1. $A_1(A)$ = $A$

2. Si $A = \emptyset$, Luego: $A_n(\emptyset) = \emptyset$

3. Si $A \neq \emptyset$, Luego: $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$

Básicamente, lo que estoy haciendo es aplicar la función de elección $C$ a $A$ para elegir un número real específico $r_1$ en $A$, luego definiendo $A_2$ ser el conjunto {$A$ desaparecido $r_1$}, luego aplicando $C$ a $A_2$ para elegir un número real diferente $r_2$ en $A$, luego definiendo $A_3$ ser el conjunto {$A$ desaparecido ($r_1$ y $r_2$)}, etcétera etcétera.

Ok ahora define otra función $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ usando la función de elección original $C$ y el nuevo $A_n$ funcionar así:

$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$

Esta función $Z$es muy especial. Cada elemento$r \in A$ corresponde a un valor único de $Z(r)$. En otras palabras,$Z$ es capaz de mapear cada elemento de un subconjunto de números reales a un número natural único $n$.

Siento que Cantor tendrá algo que decir sobre esto ...

Answer 3

Si $f$ es una función no inyectiva, $f$ Se puede escribir como $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ dónde $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ y $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$.

Definir $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$

Definir $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$

$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, dónde $Z \in \mathbb{N}$ o $Z = \infty$

Ahora usando AoC: construya un nuevo conjunto $\hat A$ que contiene exactamente un par ordenado $(x_{a+ni},f_{ni})$ de cada $A_n$.

Definir $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$

Finalmente definir $g(x) = a$, dónde $(a,x) \in f_{\text{injective}}$