Cálculo integral, infinitesimal

Sep 05 2020

Integrar $y=f(x)$ desde $a$ a $b$ dividimos la función en pequeños rectángulos de ancho $dx$. Entonces el$n$-th rectángulo estará a una distancia de $n\,dx$ desde $a$ sobre el $x$-eje. Dejalo ser$t$ rectángulos entre $a$ y $b$. Por lo tanto$b=a+t\,dx$. Pero$t\,dx$ será muy pequeño para cualquier entero positivo $t$debido a las propiedades de Infinitesimals. Entonces, ¿cómo llegará alguna vez?$b$? ¿Tengo algunos conceptos erróneos sobre el cálculo y los infinitesimales?

Respuestas

11 Joe Sep 05 2020 at 13:42

En su libro Infinite Powers , Steven Strogatz menciona este problema exacto que estás describiendo. Considera la diferencia entre 'infinito completo' e 'infinito potencial'. Llegaré a su problema particular pronto, pero primero, describiré un problema similar que ayuda a identificar lo que está sucediendo.

Como saben, la división por cero no está permitida en matemáticas. Sin embargo, muchas personas comparten la falsa creencia de que$$ 1/0 = \infty $$¿Por qué es esto? Un matemático entrenado podría despreciar la afirmación anterior, pero en realidad es muy plausible; incorrecto , pero plausible. Mira esto:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} Como $x$ enfoques $0$, $1/x$ se acerca al infinito. Por lo tanto,$1/0=\infty$. Pero espere, eso no es lo que hemos mostrado. Lo que mostramos es que como$x$ se acerca cada vez más a $0$, $1/x$se hace más y más grande. Existe una distinción crucial entre estas dos afirmaciones que a menudo se pasa por alto en los cursos de introducción al cálculo. Una vez que llegas al caso$1/0$, surgen todo tipo de paradojas, por lo que es con razón que $1/0$no está definido . Sin embargo, considerando lo que$1/0$Puede o no ser no es un ejercicio del todo infructuoso. Al contrario, podría revelarnos una de las herramientas más importantes del cálculo: el límite. Echemos un vistazo a la gráfica de$y=1/x$:

Como puede ver,$1/x$ se dispara en la distancia como $x$ se acerca cada vez más a $0$. No podemos decir que$1/0$ es ; lo que podemos decir es que como$x$ se acerca cada vez más a $0$, $1/x$se hace cada vez más grande. Esto está formalmente escrito como$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty $$ Pero espera, ¡eso tampoco está bien! $1/x$ solo se acerca al infinito * cuando $x$ enfoques $0$desde el final positivo. Y si$x$ es un número negativo que se acerca cada vez más a $0$? Luego,$1/x$ enfoques $-$infinito. Quizás podríamos escribir eso$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty $$pero a los matemáticos les gusta que los límites tengan un valor único y definido. Por lo tanto, las dos declaraciones anteriores son incorrectas, y lo que deberíamos escribir es esto:$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty \text{ and } \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty $$ (El pequeño '$+$'justo al lado del $0$ indica que estamos considerando el caso donde $x$ es un número positivo que se acerca $0$. Asimismo, el '$-$'significa $x$ es un número negativo que se acerca $0$.)

No se preocupe si todos los pequeños detalles no tienen sentido para usted. Intente recordar estos dos hechos clave:

En cálculo, los matemáticos trabajan con límites .
Al intentar calcular límites como $1/x$ como $x$ enfoques $0$, el hecho de que $1/0$no está definido no está ni aquí ni allí. No estamos tratando de averiguar qué sucede cuando "llegamos a cero". Más bien, estamos mirando lo que sucede a medida que nos acercamos cada vez más a$0$, tanto desde la dirección positiva como negativa. **

Comparemos ahora lo que hemos aprendido sobre los límites con lo que creemos saber sobre los infinitesimales. El mayor problema con el concepto de infinitesimal en mi mente es que sugieren que existe un "número más pequeño posible". De hecho, cuando trabajamos con números reales estándar, no existe tal cosa. Esto debería ser intuitivamente obvio: por muy bajo que vaya, siempre puede bajar. También puede simpatizar con la idea de que$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$Nuevamente, esto es problemático, sobre todo porque trata el infinito como si fuera un número. Por lo tanto, debemos ser extremadamente cautelosos cuando alguien menciona las palabras "infinitesimal" o "infinitamente pequeño". A menudo, cuando lo hacen, utilizan estos términos como una mera abreviatura de los límites con los que trabajamos anteriormente. Por ejemplo, si escribo 'como$x$ se vuelve infinitamente pequeño, $1/x$se vuelve infinitamente grande ', entonces esto sería bastante descuidado, pero también sería generalmente entendido por aquellos bien versados en los fundamentos del cálculo. (Sin embargo, advertiría contra el uso de ese lenguaje).

Otras veces, cuando se habla de infinitesimales, se habla de análisis no estándar, en el que se formaliza la idea de un infinitesimal. Pero no nos apartemos. En lo que a mí respecta, los 'infinitesimales' no existen. Esta también debería ser tu opinión. Si bien los infinitesimales pueden ser intuitivamente atractivos, siempre debemos confirmar que nuestras intuiciones están en línea con la realidad. De lo contrario, estamos buscando problemas.

Finalmente, llegamos a tu pregunta. Si entiendo correctamente, estás preguntando sobre$$ \int_a^b f(x) \, dx $$Como ya ha señalado correctamente, las integrales se basan en dividir una curva en muchos rectángulos pequeños, cada uno con un cierto ancho. Llamemos a este ancho$\Delta x$. Podemos aproximar el área debajo del gráfico como$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$No se desespere si la expresión anterior le parece desconocida. Todo lo que significa es que cada rectángulo tiene un ancho fijo$\Delta x$. La longitud de cada rectángulo depende de la altura de la curva en cada punto, por lo que la longitud es$f(x)$, dónde $x$ es una variable que va de $a$ a $b$. Y, por supuesto, la aproximación proviene de sumar las áreas de los rectángulos. Para visualizar esto, aquí hay una animación tomada de Wikipedia:

Como sugiere correctamente la animación, las aproximaciones se vuelven mejores a medida que$\Delta x$ enfoques $0$. Aquí es donde$dx$puede imaginarse que si los rectángulos tienen un ancho infinitamente pequeño, entonces los rectángulos obtienen el área exactamente correcta. Históricamente,$dx$ de hecho se usó de esta manera para representar un cambio infinitesimal en $x$. Sin embargo, los estándares modernos de rigor han hecho que esta interpretación de$dx$en gran parte obsoleto. Debido a todas las paradojas que pueden crear, es mejor evitar los infinitesimales en las matemáticas formales, al menos dentro del contexto del cálculo "estándar". En lugar,$dx$debe verse como parte de una abreviatura de una expresión de límite. Por ejemplo, si$y=f(x)$, luego $dy/dx$ es una abreviatura de $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$En este caso de integrales, podemos imaginar que$$ \int_a^b f(x) \, dx $$ representa la suma de infinitos rectángulos infinitamente pequeños de ancho $dx$. Pero incluso escribir esto me da vergüenza. El hecho de que el número de rectángulos sea cada vez mayor no significa que haya infinitos rectángulos (de ahí la diferencia entre 'infinito potencial' e 'infinito real'). Y a juzgar por los sentimientos que expresó en su pregunta, es posible que los infinitesimales tampoco sean el enfoque adecuado para usted. Tiene toda la razón sobre la aparente paradoja creada si interpretamos el ancho de cada rectángulo como verdaderamente 'infinitesimal'. La definición formal de una integral elude este problema por completo al definir$\int_a^b f(x) \, dx$como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos como$\Delta x$ enfoques $0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Parece haber surgido un patrón. Cada vez que te encuentres pensando en infinitesimales, ¡piensa en los límites! No es necesario que tire su intuición por la ventana; si encuentra que los infinitesimales son útiles para construir su imagen mental del cálculo, no sería prudente que los eliminara. Sin embargo, no olvide nunca lo que realmente está sucediendo.

* Cuidado con la frase 'se acerca al infinito'. Esto tiene un significado muy diferente a 'acercarse$5$', decir. Si yo digo$x$ se acerca al infinito, entonces todo lo que quiero decir es que $x$es cada vez más grande. Eso es.

** En este caso particular, el límite 'no existe', ya que terminamos con dos respuestas diferentes: $+\infty$ y $-\infty$, dependiendo de si nos acercamos $0$desde 'arriba' o 'abajo'. Por tanto, tenemos que limitarnos a considerar el caso en el que$x$ enfoques $0$ únicamente desde el final positivo, o únicamente desde el final negativo.