Cálculo sin límite con dos variables [cálculo-multivariable]

Question

¿Cómo resuelvo el límite inferior?

$$\tag{1} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y}?$$

Mi acercamiento:

Usé coordenadas polares$x = r \cos(\theta)$y$y = r \sin(\theta)$

entonces (1) =>$$\tag{2} \lim_{r\to 0} \frac{\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}{r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}.$$

Y luego la primera solución :

lo puse$w = r (\cos(\theta) + \sin(\theta)$así que cuando$r\to 0 $y$w\to 0$

(2)$\Rightarrow \lim_{w\to 0} \frac{sin(w)}{w}= 1$.

Segunda solución : regla de L'Hospital:

\begin{align} (2) \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{(\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}{(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}& = \lim_{r\to 0} \frac{\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))*(\cos(\theta) + \sin(\theta))}{\cos(\theta) + \sin(\theta)}\\ & = \lim_{r\to 0} {\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))} = \cos(0) = 1. \end{align}

¿Mis enfoques son correctos? Si no, ¿puede proporcionar una solución correcta?

Answer 1

puedes usar eso$z(x,y)=x+y$y$f(t)=\frac{\sin t}{t}$son funciones continuas y su superposición también es continua.

Rudin W. - Principios del análisis matemático- (1976) página 86. Teorema 4.7

Suponer$X,Y,Z$son espacios métricos,$E \subset X$,$f$mapas$E$dentro$Y$,$g$mapea el rango de$f,f(E)$, dentro$Z$, y$h$es el mapeo de$E$dentro$Z$definido por$h(x)=g(f(x)), x \in E$. Si$f$es continua en el punto$p \in E$y$g$es continua en el punto$f(p)$, después$h$es continua en$p$.

Answer 2

Partamos de la definición de límites multivariados: decir$\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=L$es equivalente a$$\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall(x,\,y)\left(0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-L\right|<\epsilon\right).$$Podemos probar esto para$L=1$usando$$\forall\epsilon>0\exists\delta^\prime>0\forall(x,\,y)\left(0<|x+y|<\delta^\prime\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-1\right|<\epsilon\right).$$Solo tenemos que elegir$\delta$en términos de$\delta^\prime$asi que$\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to|x+y|<\delta^\prime$. Es suficiente tomar$\delta=\delta^\prime/2$(la demostración es un ejercicio); de hecho, basta con tomar$\delta=\delta^\prime/\sqrt{2}$(La prueba es un ejercicio un poco más difícil).