Creo que la respuesta es

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Prueba

Supongamos que escribimos nuestro número original como $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ Entonces la ecuación descrita en el problema es $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ Reorganizar da $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ Lo que significa que $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ Ahora observe que el lado izquierdo es divisible por $19$ por lo que el lado derecho debe ser también pero ya $a_0$ es coprime a $19$, esto significa que $10^n - 2$ es divisible por $19$. Por lo tanto, buscamos la menor potencia de$10$ que es congruente con $2$ modulo $19$.

Pasando por poderes de$10$ modulo $19$ da $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
Por lo tanto, el menor poder de$10$ eso funciona es $10^{17}$. Conectando esto a nuestra ecuación da$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ Claramente, no podemos elegir $a_0=1$ ya que el lado derecho tendrá muy pocos dígitos, pero si elegimos $a_0=2$ (para lograr el mínimo) entonces parece seguro que tendremos un $17$-número de dígitos en el lado derecho y podemos simplemente elegir el resto del $a_j$apropiadamente a la izquierda.

Esto significa que el más pequeño$N$ que obras deben ser $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Verificación por computadora

Trabajarlo con una computadora parece el valor para $N$ arriba es $105263157894736842$ y duplicar esto da $210526315789473684$ entonces esto realmente funciona.

Cambiar un dígito de derecha a izquierda

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