¡Cambiemos CORONA!

Question

Aquí hay un rompecabezas deslizante con 6 bloques en una cuadrícula de 2x4.

Puedes mover cada bloque. Pero el bloque en forma de 8 con dos O no se puede mover por separado.

Tenga en cuenta que el bloque en forma de 8 se puede mover a una posición vertical u horizontal. Dicho bloque se llama automóvil Conway: se mueve en zigzag en las esquinas de 90 grados. Entonces, este problema es un homenaje a John Horton Conway en cierto sentido, quien murió debido a complicaciones de COVID-19.

¿A qué se puede cambiar CORONA? ¿Cuál es el número mínimo de pasos?

Answer 1

Se sabe que, para cualquier rompecabezas deslizante rectangular simple (mayor que 2x2), cualquier configuración conforme a la paridad es accesible desde el estado resuelto, y todas aquellas con una paridad incorrecta son inalcanzables. "Conforme a la paridad" significa que la paridad de toda la placa, más la distancia de Manhattan del agujero desde su posición resuelta, debe ser pareja. Se puede encontrar información relevante en Wikipedia y MathWorld .

La tabla CORONA tiene dos distinciones de una tabla simple de 2x4: hay dos O y están pegadas. Observé que el OO vertical en el medio puede cambiar su propia paridad, pero solo cambiando la ubicación del agujero (en relación con el OO vertical de bloqueo) al mismo tiempo. Cuando OO está en algún lugar del borde (ya sea horizontal o vertical), parece que el par solo puede tener una orientación.

Prueba informal

Para intercambiar dos O en su lugar, necesitamos mover la pieza como una unión en T.

?? O1 ?? ??  =>  ?? ?? ?? ??  =>  ?? ?? ?? ??  =>  ?? O2 ?? ??
?? O2 ?? ??      O2 O1 ?? ??      ?? O2 O1 ??      ?? O1 ?? ??

Sin embargo, tenga en cuenta que el primer movimiento requiere que haya un agujero en el lado izquierdo, y el tercero requiere un agujero en el lado derecho. Un agujero no puede moverse a través de la pieza vertical sin mover primero la pieza vertical .

Además, suponga que el primer estado tiene el agujero a su izquierda. Independientemente de cómo mueva los agujeros, mover el OO dará como resultado uno de los siguientes dos estados:

O1 O2 ?? ??  or  ?? ?? ?? ??
?? ?? ?? ??      O2 O1 ?? ??

y moverlo desde el último estado resultará en uno de los siguientes:

?? O1 O2 ??  or  ?? ?? ?? ??
?? ?? ?? ??      ?? O2 O1 ??

todos los cuales orientan O2 en el sentido de las agujas del reloj desde O1. No hay forma de cambiar la orientación de OO en el borde.

Para resumir todo lo anterior, dada la posición del OO y el agujero, la orientación del OO es fija. Esto significa que el argumento de paridad se aplica aunque haya dos O presentes, declarando inalcanzables todos los estados de paridad impar.

Creo que demostrar que todos los estados de paridad par son alcanzables es fácil: simplemente pase por un estado en el que OO se coloque verticalmente en el lado izquierdo y mueva libremente la porción restante de 2x3 del tablero.

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Ahora a la tarea real. Si no se permiten palabras,

I can get CRAOON in 16 steps:

         1            4            1            3
C O R x  =>  C . R x  =>  C R x A  =>  C R x A  =>
. O N A      O O N A      O O . N      . O O N
         1            4            1            1
R x . A  =>  R x O A  =>  C R O A  =>  C R . A  =>  C R A .
C O O N      C . O N      x . O N      x O O N      x O O N

For an actual word,

I'm getting CORONA again, in 19 moves (starting with the state after 15 moves):

         2            2
C R . A  =>  C O R A  =>  C O R .
x O O N      x O . N      x O N A

I guess the message from this puzzle is that

CORONA is persistent.

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jafe suggested the word (then confirmed by OP)

RACOON

which turned out to be possible but apparently too far away (slightly improved after edit):

It took 32 30 28 moves.

         3            3            3            3
C O R x  =>  O C R x  =>  O . C x  =>  O N . x  =>
. O N A      O . N A      O N R A      O R C A
         5            11
O N x A  =>  O x R A  =>  R A C .
O R . C      O . N C      x O O N

30 moves:

         1            5            6            4
C O R x  =>  C . R x  =>  C R x A  =>  R x A N  =>
. O N A      O O N A      . O O N      C . O O
         5            6            3
R A N O  =>  A C N O  =>  R A C N  =>  R A C .
C x . O      R . x O      . x O O      x O O N

32 moves:

         2            2            2            4
C O R x  =>  O O R x  =>  O . R x  =>  O R N x  =>
. O N A      C . N A      O C N A      O C . A
         4            3            6            9
O R A N  =>  O A C N  =>  O A . C  =>  O x R C  =>  R A C .
O C . x      O R . x      O R x N      O . A N      x O O N

According to the result of anagram search on Qat, the two words already presented are the only reachable words.

CAROON has wrong parity (because RACOON is reachable and CAROON is RACOON with R and C swapped), and ORACON would tear apart the two O's.

Answer 2

OP's comment:

Puede ver la respuesta en el archivo gif en movimiento. 28 movimientos.