Campo de residuos de compuesto de dos campos

Jan 04 2021


[Pregunta]

Yo sé eso $K'\cdot K''$ es una extensión sin ramificar de $K$ pero no se porque $K'\cdot K''$ tener un campo de residuos $k'$.

es siempre cierto que $K_1\cdot K_2$ tener un campo de residuos $k_1 \cdot k_2$? (dónde$k_1,k_2$ son campos de residuos de $K_1, K_2$)

Creo que si probamos la proposición 7.50, entonces podemos usar " $K_1\cdot K_2$ tener un campo de residuos $k_1 \cdot k_2$" en esta situación.

Sin embargo, no podemos usar ese hecho al probar esta proposición.

¿Cómo puedo probar esto?

Gracias por su atención.

referencia ( Teoría de números algebraicos de JS Milne ) y esta publicación 1 : El extraño razonamiento de extensiones sin ramificar que tienen los mismos campos de residuos son iguales.

Respuestas

2 reuns Jan 04 2021 at 01:53

Xa $K/\Bbb{Q}_p$ una extensión finita entonces $F/K$ es unramificado si $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ con $p\nmid n$ y $q= |O_F/(\pi_F)|$. Esta es la principal aplicación del lema de Hensel.

Cuando $E/K,E'/K$ se ramifican, entonces no siempre es el caso que el campo de residuos de $EE'$ es el campo más pequeño que contiene los de $E,E'$, prueba con $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.

Cuando $E'/K$ es unramificado entonces $EE'=E(\zeta_{q-1})$ tiene campo de residuos $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.