Cerreza en la teoría de esquemas

Question

Dejar $X$ ser un esquema y $(U_i)_{i\in I}$ una cubierta abierta,

(1) Dado un subconjunto $Z\subset X$, por que $Z\cap U_i$ está cerrado para todos $i$ implica que $Z$ ¿está cerrado?

(2) Deja $A$Llevando. Dado un esquema de morfismo$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ tal que $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ está cerrado para todos los afines $A$ esquemas $Y$, ¿esto implica que $f$ está universalmente cerrado?

Answer 1

(1) Porque entonces

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

y desde $U_i\cap Z$ está cerrado en $U_i$ vemos eso $U_i-(U_i\cap Z)$ está abierto en $U_i$ y así abrir en $X$.

(2) Sí, por 1). Para comprobar eso$f$ es universalmente cerrado deje $Y$ ser cualquiera $A$-esquema. Tenemos que demostrar que$f(X_Y)$ está cerrado en $Y$. Pero deja$Y=\bigcup_i U_i$ para subesquemas abiertos afines $U_i$ de $Y$. Por 1) basta con ver que$f(X_Y)\cap U_i$ está cerrado para todos $i$. Pero tenga en cuenta que$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. De hecho, esto se sigue del diagrama cartesiano

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

Entonces, basta con demostrar que $f(X_{U_i})$está cerrado. Pero desde$U_i$ es un afín $A$-Esquema lo sabemos por suposición.

Answer 2

Los morfismos finitos de los esquemas están cerrados. . Mira la respuesta aquí para la primera parte.

Dejar $Y$ frijol $A$-esquema. Decir$Y=\bigcup_i Y_i$ dónde $Y_i \subset Y$son subesquemas afines abiertos. Mostrará$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$es un mapa cerrado. Dejar$C\subset X\times_A Y$. Conjunto$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. Luego$C_i$ está cerrado en $X\times_A Y_i$ que es un sub-esquema abierto de $X\times_A Y$. Tenemos el diagrama conmutativo$\require{AMScd}$ \ begin {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> Y \ end {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ que está cerrado en $Y_i$por suposición. Entonces, por la parte anterior,$f(C)$ está cerrado en $Y$. Así$f$ está universalmente cerrado.