Cierre de este conjunto en adición

Question

Definir $S = \{ (x_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \mid \sum\limits_{n=1}^{∞} {x_n}^2 < ∞ \}.$

¿Cómo demuestro que este conjunto está cerrado con una adición puntual?

Dejar $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ ser dos secuencias con sus series asociadas que convergen a $L_1 := \sum {x_n}^2$ y $L_2 := \sum {y_n}^2$. ¿Cómo demuestro que la serie asociada a$(x_n + y_n)_n$ converge también?

Hasta ahora puedo razonar $\sum_n (x_n + y_n)^2 = L_1 + L_2 + 2\sum x_n y_n$, pero ¿cómo voy desde aquí?

Answer 1

Insinuación

$$\sum_{n}|x_n||y_n|\leq \sqrt{\sum_{n}x_n^2}\sqrt{\sum_{n}y_n^2}.$$

Answer 2

Dado lo que has hecho, lo que queda por demostrar es que $\sum {x_n y_n}$es convergente. Para hacerlo, necesita alguna forma de desigualdad de Cauchy Swartz y declare lo siguiente:$$|x_n y_n|=\sqrt{x_n^2 \cdot y_n^2}\leq \frac{x_n^2 + y_n^2}{2}$$ Esta desigualdad a veces se llama AM-GM y, podemos deducir de ella que la suma $\sum {|x_n y_n|}$es convergente. Por tanto, el dum en cuestión es absolutamente convergente.

Answer 3

Una mejor forma sería utilizar el hecho de que $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ entonces $\sum (x_n+y_n)^{2} \leq 2\sum x_n^{2}+2\sum y_n^{2} <\infty$. Esto evita la desigualdad de CS.