Cinética de una desintegración radiactiva paralela simultánea
Pregunta:
Un isótopo radiactivo, A sufre desintegración simultánea a diferentes núcleos como: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4.5 \ \ mathrm h) \ end {matriz}
Suponiendo que inicialmente ni P ni Q estaban presentes, ¿después de cuántas horas, la cantidad de Q será el doble de la cantidad de A restante?
Mi resolución:
tengo el $t_{1/2}$ para $A$ como $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$
Ahora de la ley de Rutherford-soddy el número de átomos que quedan después$n$ las vidas medias son,
$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
y número de vidas medias $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$
Para isótopo $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ dónde $T$ es el tiempo común de decadencia para $\mathrm A$ y $\mathrm Q$
por $\mathrm Q$ Tuve que asumir que $\mathrm Q$ también está experimentando una desintegración radiactiva para formar una relación entre $\mathrm A$ y $\mathrm Q$
Ahora usando la misma fórmula que arriba $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$
Ahora aplicando la condición en la pregunta, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$
Levantando por poder $9$ en ambos lados,
$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$
lo que implica,
$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$
Por lo tanto,
$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$
Aunque tengo una respuesta y satisface la condición, sigo pensando que está mal debido a la suposición hecha para $\mathrm Q$ y era necesario hacer algo más para establecer la relación entre $\mathrm A$ y $\mathrm Q$ Además, se da en la pregunta que inicialmente ni $\mathrm P$ ni $\mathrm Q$ estaba presente y supongo que la suposición viola eso.
Respuestas
Reacciones paralelas o colaterales de primer orden: Concepto
$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$
Orden efectiva = 1
$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$
$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$
$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$
Diferenciar con respecto a $T$,
$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$
$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$
$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$
similar,
$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$
$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$
- proporción de $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [multiplicado por 100 para el porcentaje]
- proporción de $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [multiplicado por 100 para el porcentaje]
El problema real
\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}
$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$
$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$
$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$
$$\implies t= 6\mathrm h$$
Entonces eso da la respuesta como 6 h.
La pregunta ya ha sido resuelta por Yashwini y la respuesta dada es correcta.$^2$ Aquí seguiría una explicación más intuitiva y específica de la pregunta.
Ahora, las dos reacciones dadas son:
\ begin {matriz} {cc} \ require {cancelar} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4.5 \, \ mathrm h) \\ \ end {matriz}
Ahora, usando la ley de tasas, obtenemos,
\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}
La constante de velocidad para una reacción de primer orden que tiene una vida media de $t_{1/2}$ Se define como:
$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$
Ahora, sustituyendo los valores dados de $t_{1/2}$ en las ecuaciones, obtenemos $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (ya que $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$
Ahora, intuitivamente, dado que ambas reacciones tienen lugar juntas, significaría que por cada mol de P formado, se forman dos moles de Q. Por lo tanto, por cada mol de P formado, reaccionan tres moles de A (ya que se requiere un mol por cada mol de P y Q).
Ahora, agregamos las leyes de tarifas ($1$) y $(2)$, dado que las reacciones tienen lugar simultáneamente, para obtener:
$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$
Ahora, dado que usando la relación entre $k_\mathrm{P}$ y $k_\mathrm{Q}$, obtenemos $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$
Por lo tanto, usando la ley de velocidad integrada para una reacción de primer orden en la ecuación $(4)$, obtenemos:
$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$
Ahora, la cantidad de $A$ usado aquí sería $A_0 -A$, y obtenemos que ese valor sea:
$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$
Ahora bien, como hemos señalado anteriormente, por cada tres moles de A usados, se forman dos moles Q. Esto significa que la cantidad de Q ahora en la mezcla sería dos tercios de$A_\text{used}$. Por tanto, la cantidad de Q sería:
$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$
Ahora, se nos da la condición, $Q = 2A$, sustituyendo valores de $Q$ y $A$ en la relación dada obtenemos:
$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$
Resolviendo para $t$, obtenemos:
\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}
Ahora, usando la ecuación $(3)$, obtenemos la tasa constante $k_\mathrm P$ ser - estar $\frac{\ln 2}{9}$. Sustituyendo este valor en la expresión de tiempo, obtenemos:
$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$
Por lo tanto, el tiempo necesario para que ocurra esta afección es:
$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$