Clasificación mejorada de grupos de Lie compactos
Esta pregunta es una continuación de la Clasificación de grupos de Lie compactos (no necesariamente conectados) . En la respuesta a esa pregunta, @LSpice demostró que cualquier grupo de Lie compacto, no necesariamente conectado$G$ toma la forma $$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$ dónde $G_0$ es el componente de identidad de $G$, $R$ es un grupo finito, y $P$ es un subgrupo común finito de $G_0$ y $R$ que es central dentro $G_0$ (pero no tiene por qué ser central en $R$).
No obstante, existen muchas posibilidades para el producto semidirecto. Para acotar la lista, sería conveniente separar aquellos elementos de$R$ que actúan por automorfismos externos no triviales en $G_0$ y modificar el resto para que se desplacen con $G_0$.
ACTUALIZACIÓN: mi hipótesis original (a continuación) es falsa. Una versión más débil y posiblemente correcta es:
Hipótesis: $R$ y $P$ se puede elegir arriba de modo que cada elemento de $R$ o bien (1) actúa mediante un automorfismo externo no trivial en $G_0$ o (2) actúa trivialmente en $G_0$.
ACTUALIZACIÓN 2: @LSpice demostró esto en la respuesta actualizada a la Clasificación de grupos de Lie compactos (no necesariamente conectados) . En mi respuesta a continuación, se proporciona una reformulación concisa de la prueba.
En comparación, esto es falso:
Hipótesis: cualquier grupo de Lie compacto $G$ se puede escribir en la forma $$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$ dónde $H, R, P$ son grupos finitos y elementos no triviales de $R$ actuar mediante automorfismos externos no triviales en $G_0$.
Contraejemplo: considere $G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, donde el generador $r$ de $\mathbb{Z}_4$ actúa por el automorfismo externo de `` conjugación de carga '' $r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$ en $U(1)$. En cualquier extensión finita$G'$ de este grupo, elementos de $\pi_0(G)$ que acto por conjugación de carga nunca cuadrará con la identidad en $G'$, entonces $G'$ nunca toma lo requerido $(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$ formar con $\mathbb{Z}_2$ actuando $U(1)$ por conjugación de carga.
Respuestas
@LSpice ya ha probado mi conjetura revisada en la respuesta actualizada a la Clasificación de grupos de Lie compactos (no necesariamente conectados) , pero permítanme dar otra prueba estrechamente relacionada.
Desde $1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$siempre se divide, consulte ¿Aut (G) → Out (G) siempre se divide para un grupo de Lie compacto y conectado G? , podemos elegir un subgrupo$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$ para lo cual la restricción de $\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$es un isomorfismo. La imagen inversa de$R_0$ debajo del mapa $f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$ inducida por conjugación es un subgrupo $K \subseteq G$ cuya intersección con $G_0$ es $Z(G_0)$.
Multiplicando cualquier $g\in G$ por arbitrario $h \in G_0$ multiplica el asociado $f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$ por un automorfismo interno arbitrario $f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$, sin cambiar $g$componente conectado. Por lo tanto,$K$ cumple con todos los componentes conectados de $G$.
Usando el resultado de En cualquier grupo de Lie con un número finito de componentes conectados, ¿existe un subgrupo finito que reúna todos los componentes? ,$K$ tiene un subgrupo finito $R$ que cumple con todos los componentes de $K$, por lo tanto, cumple con todos los componentes de $G$ también, y se cruza $G_0$ dentro $Z(G_0)$. Por diseño, los elementos de$R$ actuar por automorfismos externos no triviales en $G_0$ o actúan trivialmente en $G_0$. Esto prueba mi conjetura (revisada).
COMENTARIO AÑADIDO: A continuación se establece y se refuta una generalización interesante, aunque falsa.
Es bien sabido que cualquier grupo de Lie compacto y conectado$G_0$ toma la forma $$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$ dónde $T^k$ denota un $k$-toro, $G_1, \ldots, G_\ell$ son grupos de Lie compactos, simplemente conectados, simples, y $P$es central. Se podría pensar que los cocientes en las expresiones para$G$ y $G_0$ podrían combinarse, de modo que cualquier grupo de Lie compacto $G$ tomaría la forma: $$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$ donde como antes de cada elemento de $R$ actúa por un exterior no trivial o actúa trivialmente en $T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$. Sin embargo, esto es falso .
Contraejemplo: considere $G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, donde el generador $r \in \mathbb{Z}_4$ actúa por paridad en $\mathrm{SO}(2k)$ y $r^2 = -1 \in SO(2k)$. Ahora deja$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ ser una tapadera de $G$ cuyo componente conectado es $G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$. Hay algun elemento$r'$ de $R$ que proyecta a $r$, por eso $r’$ actúa sobre $\mathrm{Spin}(2k)$por paridad. Si$k$ es extraño, entonces $Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, y $(r’)^2$ debe ser uno de los dos elementos de orden 4 en $Z(G_0')$ proyectar a $(r)^2 = -1$. Sin embargo, la paridad intercambia estos dos elementos, por lo que encontramos$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, que es una contradicción. El caso de incluso$k$ es muy similar.