Coeficiente de $x^7y^6$ en $(xy+x+3y+3)^8$

Question

Encuentra el coeficiente de $x^7y^6$ en $(xy+x+3y+3)^8$.

Mi solución:

Factor $(xy+x+3y+3)^8$ dentro $(x+3)^8(y+1)^8$. Para conseguir un$x^7y^6$ término, necesitamos encontrar el coeficiente de $x^7$ en el primer factor y $y^6$en el segundo factor. Usando el teorema del binomio, obtenemos el coeficiente de$x^7$ ser - estar $17496$ y $y^6$ ser - estar $28$. Multiplicar los dos nos da una respuesta de$489888.$

Sin embargo, esto está mal. Este es el enfoque de la clave de respuestas:

$x^7y^6 = (xy)^6 \cdot x = (xy)^5 \cdot x^2 \cdot y$. Ahora,$(xy)^6\cdot x$ se puede formar eligiendo $6$ $xy$es, $1$ $x$y $1$ $3$, que se puede hacer en $\binom{8}{6}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 56$ formas. $(xy)^5\cdot x^2\cdot y$ se puede formar eligiendo $5$ $xy$es, $2$ $x$y $1$ $3y$, que se puede hacer en $\binom{8}{5}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 168$formas. Por tanto, el coeficiente final es$3(56+168) = 672$ formas.

Entiendo completamente su enfoque, pero no entiendo por qué el mío no funciona. ¿No calculamos simplemente el número de formas de conseguir$x^7$y $y^6$, luego multiplicarlos?

Curiosamente, noté que cuando calculas el coeficiente de $x^1$ (cual es $x^{8-7}$) y $y^2$ (cual es $y^{8-6}$), usted obtiene $3\cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{8}{2} = 672$, que es la respuesta. soy$99\%$ Seguro que esto no es una coincidencia, pero ¿por qué funciona este método y no el otro?

Sé que no me equivoqué en ningún cálculo, porque verifiqué todo con WolframAlpha; el error debe estar en mi proceso.

¡Gracias por adelantado!

(Pregunta de PuMaC 2017 Álgebra B)

Answer 1

El factor para $x^7$ es $24$ y para $y^6$ es $28$, cuya multiplicación es la respuesta correcta. Probablemente esté aplicando el teorema del binomio incorrectamente.

Como complemento, su método es completamente correcto.