Cómo $A$ relacionado a $B$ Si $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$?
por $A \geq B$, ambos son enteros estrictamente positivos, ¿cuál es la relación entre $A$ y $B$ tal que lo siguiente sea cierto? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$
Anteriormente hice esta pregunta puede estar aquí , y se ha demostrado que un contraejemplo la refuta. Ahora me gustaría preguntar si podemos encontrar las condiciones (una expresión en términos de$A$ y $B$) de manera que lo anterior sea cierto.
Una cosa que noté (una generalización de la respuesta de @Clement Yung en mi publicación original, ¡gracias!) Es que si $B = \lceil A/k \rceil$ (para cualquier constante $k$), entonces lo anterior es falso. Me pregunto si hay otros casos en los que sea falso, o si es mejor si hay condiciones para cuando siempre es cierto.
Respuestas
Considere en primer lugar el caso en el que $A=B$ y entonces $A/B=1$. En este caso,$\lfloor A/B\rfloor=\lceil A/B\rceil=1$, por lo que la desigualdad del PO se reduciría a
$$A-3\lfloor A/B \rfloor \leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-3\leq A $$
lo cual es trivialmente cierto.
Si $A/B>1$, entonces $\lfloor A/B\rfloor+1=\lceil A/B\rceil$, de modo que la desigualdad se convierta
$$A-3\lfloor A/B \rfloor -1\leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-(B+3)\lfloor A/B \rfloor -1\leq 0$$ $$\lfloor A/B \rfloor\geq \frac{A-1}{B+3}$$
Esta es la condición necesaria para satisfacer la desigualdad inicial del OP.
Por ejemplo, si $A=5$ y $B=2$, entonces la condición se cumple ya que $$\lfloor 5/2 \rfloor=2 > \frac{5-1}{2+3}=\frac 45$$
En consecuencia, para estos valores se cumple la desigualdad inicial, ya que da
$$5-2-3\leq 2\cdot 3$$ $$0\leq 6$$
Como otro ejemplo, si $A=12$ y $B=7$, entonces la condición no se cumple ya que $$\lfloor 12/7 \rfloor=1 < \frac{12-1}{7+3}=\frac {11}{10}$$
En consecuencia, para estos valores, la desigualdad inicial no se mantiene, ya que daría
$$12-1-2\leq 1\cdot 7$$ $$9\leq 7$$
$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ Considere escribir $A = NB + k$ para algunos $N \in \Bbb{Z}^+$ y $0 \leq k < B$. Consideramos dos casos.
Si $k = 0$ (es decir $A$ es un múltiplo de $B$), entonces podemos reescribir la desigualdad como: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff NB - 2N \ leq N (B + 1) \\ & \ iff -2N \ leq N \\ & \ iff N \ geq 0 \ end {align *} que siempre se cumple. Si$k > 0$, entonces: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff (NB + k) - N - (N + 1) \ leq N (B + 1) \\ & \ iff k - 2N - 1 \ leq N \\ & \ iff 3N + 1 \ geq k \ end {align *} Para un fijo$B \in \Bbb{Z}^+$, ahora podemos clasificar todos los enteros $A$ tal que la desigualdad se satisface considerando el valor de $k$ (es decir, el resto de $A$ cuando se divide por $B$, que toma un número finito de valores posibles). En particular, si$3N + 1 \geq B - 1$, entonces la desigualdad se satisface inmediatamente.