Cómo agregar fidelidades de múltiples puertas

Question

La fidelidad de un qubit se define muy bien aquí y la fidelidad de la puerta como "la fidelidad promedio del estado de salida sobre los estados de entrada puros" ( definido aquí ).

¿Cómo se pueden combinar los fidelies de dos (o más) puertas para obtener una fidelidad total combinada de la puerta? Por ejemplo, si un qubit es operado por dos (o más) puertas, ¿cómo podemos calcular la fidelidad esperada del qubit (en comparación con su estado original) después de ser operado por esas puertas si todo lo que sabemos es la fidelidad de la puerta de cada puerta?

Me imagino que es deducible de la definición de fidelidad qubit ... No he podido descifrarlo. También hice muchas búsquedas en línea y no pude encontrar nada. Prefiero la definición en la página de wikipedia:$F(\rho, \sigma)=\left|\left\langle\psi_{\rho} \mid \psi_{\sigma}\right\rangle\right|^{2}$para comparar el estado de entrada con el estado de salida. Es fácil trabajar con él. Se prefiere mucho una solución explicada en estos términos.

Answer 1

No sé si puede calcular exactamente la fidelidad total combinada de la puerta, ya que los procesos de ruido que reducen la fidelidad de cada puerta individualmente pueden componerse de formas no triviales. Sin embargo, si conoce las fidelidades de las puertas individuales y esas fidelidades satisfacen ciertas propiedades, entonces puede limitar la fidelidad total de las puertas. Esta es la "propiedad de encadenamiento para la fidelidad" (por ejemplo, Nielsen y Chuang Sección 9.3).

Suponga que tiene la intención de aplicar $U_1$ a $\rho$ como la primera puerta de una secuencia, pero la operación real que aplica es el mapa CPTP $\mathcal{E}_1(\rho)$ que es una versión ruidosa de $U_1$. Una forma natural de medir el error es en la operación que aplicó es:

$$ E(U_1, \mathcal{E}_1) = \max_\rho D(U_1 \rho U_1^\dagger, \mathcal{E}_1(\rho)) $$

dónde $D(\rho, \sigma) = \arccos \sqrt{F(\rho, \sigma)}$ es una posible elección para $D$, pero puede usar cualquier métrica sobre estados cuánticos. Encontrar la distancia máxima entre$U_1 \rho U_1^\dagger$ y $\mathcal{E}_1(\rho)$ sobre matrices de densidad $\rho$le dice el peor resultado posible que puede obtener de su ruidosa implementación de la puerta. Entonces, si define el error de manera similar para$U_2$ y su ruidosa implementación $\mathcal{E}_2$ entonces puedes garantizar que

$$ E(U_2 U_1, \mathcal{E}_2 \circ \mathcal{E}_1) \leq E(U_1,\mathcal{E}_1) + E(U_2, \mathcal{E}_2 ) $$

que dice que el error del peor caso para aplicar ambas puertas no es peor que la suma de los errores del peor caso para aplicar las puertas individualmente.

Lamentablemente la fidelidad $F(\rho, \sigma) =\text{Tr}( \rho \sigma)$ que proporcione no es una métrica adecuada para los estados, por lo que no puede sustituirla en la propiedad de encadenamiento anterior.