Como calcular $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$
Quiero calcular $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$, pero no quiero utilizar un análisis complejo. ¿Cómo puedo calcularlo?
Lo intenté
$$I\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x^3\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x}\,dx\:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$=-\pi \:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)+I\left(t\right)=0$$Resolver la ecuación diferencial y luego establecer las condiciones iniciales parece un proceso muy largo. ¿De qué otra manera puedo calcular?
Respuestas
Con $I\left(t\right)=\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\:dx$, tienes $I’’’’(t)+I(t)= 0$, junto con todas las condiciones iniciales
$$I(0)=0, \>\>\>I’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2} ,\\ I’’(0)=-\pi, \>\>\> I’’’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2}\\ $$
que conducen a la solución $I(t) =\pi e^{-\frac t{\sqrt2}}\sin\frac t{\sqrt2} $. Así,
$$\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\:dx =I(1)=\pi e^{-\frac 1{\sqrt2}}\sin\frac 1{\sqrt2} $$
La ecuación diferencial en sí misma no es mala $$I(t)=e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}} \left(\left(c_1 e^{\sqrt{2} t}+c_2\right) \sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+\left(c_3 e^{\sqrt{2} t}+c_4\right) \cos \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right)$$pero, como escribiste, el problema podría ser establecer las condiciones (pero puedes hacerlo)
Usando álgebra, deje $a,b,c,d$ ser las raíces de $x^4+1=0$(usted los conoce). Entonces$$\frac x{x^4 +1}=\frac x{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}$$ Usa la descomposición parcial de fracciones y enfrenta cuatro integrales que parezcan $$I_k=\int_{-\infty}^\infty\frac {\sin(x)}{x-k} dx\qquad \text{where} \qquad \text{k is a complex number}$$ Hacer $x=t +k$ $$\frac {\sin(x)}{x-k}=\frac {\sin(t+k)}{t}=\cos(k)\frac {\sin(t)}{t}+\sin(k)\frac {\cos(t)}{t}$$y enfrentaremos integrales de seno y coseno. Pero el resultado final es simple$$I_k=\pi \, e^{i k}$$