Cómo calcular la distancia de $k=0$ código estabilizador?
Esto podría verse como una continuación de la pregunta " ¿Cómo calcular la distancia del código del estabilizador? ". Resumiendo la respuesta aceptada: la distancia es el peso mínimo del conjunto$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ dónde $S$ es el grupo estabilizador (generado por $K_n$está en la pregunta anterior), y $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ es su normalizador en el grupo de orden Pauli $2^{2N+1}$ (dónde $N$= número de qubits; usando la versión real del grupo aquí).
Mi pregunta es la siguiente: ¿esto es válido para $k=0$códigos estabilizadores? Sospecho que no siempre se cumple, pero no puedo encontrar una referencia para él ... parece funcionar para la mayoría de los casos, pero algunos ejemplos de contador simples también son fáciles de encontrar: tome el estado GHZ$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, con $K_1=X_1X_2$ y $K_2=Z_1Z_2$. En este caso,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, entonces el set $E$esta vacio. Evidentemente, algo está roto en este proceso: creo que la distancia debería ser de 2. ¿Qué está pasando aquí?
Respuestas
Tenga en cuenta que en el caso $k = 0$, el 'código' del estabilizador es un $2^0 = 1$subespacio dimensional del espacio de Hilbert, lo que quiere decir que consta de un solo estado estabilizador. Esto tendrá efectos algo adversos en las características como la "distancia" del código.
La "distancia de código" se define en última instancia en términos del peso mínimo de un operador Pauli $E$ que no es 'detectable' (por lo que quiero decir, distinguible de la identidad) según las condiciones de Knill-Laflamme: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ dónde $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$son estados en el código. En el caso de un subespacio unidimensional, solo hay un estado único$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Así tomaríamos$j,k \in \{ 0 \}$, de manera que la $\delta_{j,k}$ término es siempre igual a $1$. Pero eso significa que simplemente definiendo$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, la condición Knill-Laflamme siempre se cumple. Por tanto, la 'distancia' del código se define para un$k = 0$ código de estabilizador como mínimo sobre el conjunto vacío.
Usando el enfoque menos abstracto para los códigos estabilizadores, de considerar los pesos de los operadores de Pauli que están en el normalizador del código, tenga en cuenta que estamos hablando entonces de operadores que mapean el espacio de código a sí mismo, pero no son proporcionales a un miembro del grupo estabilizador. Pero para$k = 0$ operadores que mapean el estado $\lvert \psi \rangle$a sí mismo son necesariamente proporcionales a los estabilizadores, por lo que no existe tal operador. Nuevamente, estamos considerando el peso mínimo sobre un conjunto vacío de operadores.
De acuerdo con sus convenciones, posiblemente sea sensato hablar de la distancia como infinita ; pero en la práctica sería mejor decir que la distancia no está definida.
En el papel clásico https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, en la página 10, la distancia de un $[n,0]$El código se define como el peso más pequeño distinto de cero de cualquier estabilizador en el código. La interpretación física de esta definición dada es, "Una$[[n, 0, d]]$ código es un estado cuántico tal que, cuando se somete a una decoherencia de $[(d − 1)/2]$ coordenadas, es posible determinar exactamente qué coordenadas fueron decodificadas ".