Cómo calcular las longitudes de arco de un gran círculo inclinado con el ecuador en $\phi°$ roto en $12$ arcos por longitudes $30°$ ¿aparte?
Un gran círculo se encuentra en $\phi°$inclinación al ecuador. Longitudes$30°$ se dibujan aparte que divide el ecuador en $12$ arcos iguales de tamaño (radio de la tierra$*30$). Los arcos correspondientes en el gran círculo inclinado tendrán longitudes variables. Cómo calcular sus ángulos subtendidos para todos$12$ arcos?
Lo que me las arreglé para descubrir:
Aquí está el diagrama: Descripción del problema
$\phi =$ latitudes del punto más bajo y más alto del gran círculo (ignorando los signos, es decir, $+/-$).
Longitud del arco para ambos círculos para $90°$ El ángulo subtendido es igual a un cuarto de circunferencia.
Intenté resolver con la regla de Haversine y la regla del seno para trigonometría esférica , pero cuando se programaba, la suma de$12$ arcos no es igual a la circunferencia de la tierra.
Motivación:
Los ángulos subtendidos de los arcos variarán con la latitud y la longitud. Ese cálculo es crucial para un software de astrología que estoy tratando de construir. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!
Respuestas
Puede ser mejor calcular las longitudes de arco acumuladas.
Dejar $A$ ser un punto donde el arco golpea el ecuador y $B$ ser cualquier punto al que te muevas $A$. Porque$A$ puede ser cualquiera de dos puntos, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $B$ es desplazado por $\le 180°$ longitud desde$A$. Llamamos así desplazamiento de longitud$\theta$.
Dibujar $\triangle ABP$ dónde $P$es cualquier polo. Luego$\angle P$ medidas $\theta$, arco $AP$ mide 90 °, y $\angle A$ medidas $90°-\phi$.
Al resolver triángulos, generalmente prefiero trabajar con cosenos en lugar de senos. La función coseno es monótona y da una inversa inequívoca desde$0°$ a $180°$, mientras que la función seno se duplica sobre sí misma cuando el argumento pasa $90°$. Así que mira las leyes del coseno. Cuando tiene dos ángulos y el lado incluido como aquí, la Segunda Ley de los cosenos funciona mejor. Para este triángulo, la ley da lo siguiente para el tercer ángulo$\angle B$:
$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$
Aquí, el segundo término de la derecha se pone a cero como $AP$ medidas $90°$. Conectando los ángulos conocidos de arriba y luego renderiza
$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$
Luego aplicamos la misma ley una vez más, esta vez con $\angle P$ En el lado izquierdo:
$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$
Conectando valores conocidos y usando el hecho de que $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ para $0\le u\le 180°$, obtenemos
$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$
$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$
y esta fórmula para la longitud del arco $AB$:
$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$