Cómo calcular las longitudes de arco de un gran círculo inclinado con el ecuador en $\phi°$ roto en $12$ arcos por longitudes $30°$ ¿aparte?

Aug 17 2020

Un gran círculo se encuentra en $\phi°$inclinación al ecuador. Longitudes$30°$ se dibujan aparte que divide el ecuador en $12$ arcos iguales de tamaño (radio de la tierra$*30$). Los arcos correspondientes en el gran círculo inclinado tendrán longitudes variables. Cómo calcular sus ángulos subtendidos para todos$12$ arcos?


Lo que me las arreglé para descubrir:

  1. Aquí está el diagrama: Descripción del problema

  2. $\phi =$ latitudes del punto más bajo y más alto del gran círculo (ignorando los signos, es decir, $+/-$).

  3. Longitud del arco para ambos círculos para $90°$ El ángulo subtendido es igual a un cuarto de circunferencia.

  4. Intenté resolver con la regla de Haversine y la regla del seno para trigonometría esférica , pero cuando se programaba, la suma de$12$ arcos no es igual a la circunferencia de la tierra.


Motivación:

Los ángulos subtendidos de los arcos variarán con la latitud y la longitud. Ese cálculo es crucial para un software de astrología que estoy tratando de construir. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Respuestas

OscarLanzi Aug 17 2020 at 20:11

Puede ser mejor calcular las longitudes de arco acumuladas.

Dejar $A$ ser un punto donde el arco golpea el ecuador y $B$ ser cualquier punto al que te muevas $A$. Porque$A$ puede ser cualquiera de dos puntos, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $B$ es desplazado por $\le 180°$ longitud desde$A$. Llamamos así desplazamiento de longitud$\theta$.

Dibujar $\triangle ABP$ dónde $P$es cualquier polo. Luego$\angle P$ medidas $\theta$, arco $AP$ mide 90 °, y $\angle A$ medidas $90°-\phi$.

Al resolver triángulos, generalmente prefiero trabajar con cosenos en lugar de senos. La función coseno es monótona y da una inversa inequívoca desde$0°$ a $180°$, mientras que la función seno se duplica sobre sí misma cuando el argumento pasa $90°$. Así que mira las leyes del coseno. Cuando tiene dos ángulos y el lado incluido como aquí, la Segunda Ley de los cosenos funciona mejor. Para este triángulo, la ley da lo siguiente para el tercer ángulo$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

Aquí, el segundo término de la derecha se pone a cero como $AP$ medidas $90°$. Conectando los ángulos conocidos de arriba y luego renderiza

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

Luego aplicamos la misma ley una vez más, esta vez con $\angle P$ En el lado izquierdo:

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

Conectando valores conocidos y usando el hecho de que $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ para $0\le u\le 180°$, obtenemos

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

y esta fórmula para la longitud del arco $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$