¿cómo det (A) = 0 implica que la solución no es única? [duplicar]
Solución de la ecuación matricial Ax = b, donde $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$
no es único, si los vectores $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$son linealmente dependientes. Entonces, por propiedades del determinante,$$ \det A=0. $$Sin embargo, ¿se sigue siempre que si det A = 0, los vectores columna de A son linealmente dependientes? ¿Alguien puede presentar una prueba?
Respuestas
Una posible prueba:
- Suponga que las columnas son linealmente independientes.
- Convierta la matriz en una forma escalonada de columnas, comenzando desde la última columna y avanzando hacia atrás.
- Sabes que la cantidad de columnas linealmente independientes es la cantidad de columnas distintas de cero con las que terminas. Sin embargo, como ha asumido que las columnas son independientes, no hay columnas cero.
- En otras palabras, ha terminado con una matriz triangular con todos los elementos distintos de cero en la diagonal. Su determinante es distinto de cero.
- Sin embargo, las transformaciones elementales que usamos al convertir la matriz en una forma escalonada de fila / columna no cambian la propiedad de la diagonal para que sea cero o diferente de cero.
- Por lo tanto, el determinante fue distinto de cero para empezar.
Si la primera columna es toda $0$claro. De lo contrario, considere una fila con el primer elemento$\ne 0$. Permítelo para que se convierta en la primera fila. El determinante sigue siendo$0$, el sistema es equivalente al anterior. Ahora reduzca todos los elementos en la primera columna, por debajo de la primera fila. Todavía determinante$0$, el sistema sigue siendo equivalente. Ahora, observe la matriz formada al eliminar la primera fila y columna. El determinante es$0$. Aplicar inducción, encontrar una solución distinta de cero$(x_2, \ldots, x_n)$. Ahora usa la primera ecuación original para obtener$x_1$. Ahora tenemos una solución distinta de cero para todo el sistema.