¿Cómo escribo formalmente un espacio euclidiano con símbolos?

Question

Un espacio es una tupla ordenada, donde el primer elemento es un conjunto y los siguientes elementos describen la estructura agregada, p. Ej. $(X, m)$ para un espacio métrico, $(X, \tau)$para un espacio topológico. ¿Cuáles son los siguientes elementos para un espacio euclidiano?

Por lo que yo entiendo, necesitamos

• $X=\mathbb R^n$ es el conjunto de todas las n-tuplas de números reales (con $n\in\mathbb N$)
• necesitamos los elementos de $X$ ser vectores - tan linealmente combinables con la multiplicación escalar $\times$, el campo $F$ y adición $+$.
• un producto escalar $\cdot$ entre los elementos de $X$.
• una norma para los elementos de $X$. ¿Está esto incluido de forma inherente en el producto punto o tengo que indicarlo explícitamente para ser preciso? ¿No necesito un adicional "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf sugiere que esto también se incluye en el "$+$".
• integridad de $X$ (¿Está esto inherentemente incluido en el hecho de que $X=\mathbb R^n$?)
• una métrica (creo que esto también está inherentemente incluido en la norma y el hecho de que los elementos de $X$ son vectores, ¿verdad?)

De eso infiero que un espacio euclidiano es $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$. Posiblemente también necesite un "$-$".

Entonces: ¿Cómo escribo formalmente un espacio euclidiano con símbolos?

Answer 1

Ya anotó un espacio euclidiano en su pregunta: $\mathbb{R}$.

La única otra cosa en la que puedo pensar que quizás quieras incluir es tu métrica. Decir$(\mathbb{R},d)$ es un espacio métrico y define d, que es la distancia de dos puntos cualesquiera.

Hay algunos axiomas para recordar para las métricas:

1. $d(x,x)=0$

2. $d(x,y)>0$

3. $d(x,y)=d(y,x)$

4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (llamada desigualdad del triángulo; piensa en un triángulo rectángulo y caminas en una línea diagonal para llegar a donde necesitas ir)

Hay muchas métricas que podríamos definir para un espacio como $\mathbb{R^2}$, el plano real; el ser más común$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

---

EDITAR:

Supongo que necesitaría aprender algo de topología. El producto cartesiano es solo un ejemplo de un concepto más general que son los espacios de producto. En topología hablamos de continuidad y conjuntos abiertos (no todos se definen de la misma manera). Decir$X,Y$ son espacios topológicos, y el conjunto, $U_{X_i}$ y $V_{Y_i}$ están abiertos en sus respectivas topologías.

Definimos la topología en el espacio del producto. $X\,\,x\,\, V$con solo decirlo "hereda" la topología de los otros dos espacios. Un subconjunto de$X\,\,x\,\, V$ está abierto si un solo si $U\subset X$ y $V\subset Y$ambos están abiertos. Esto se aplica exactamente de la misma manera a nuestros espacios métricos estándar, pero en su lugar, el espacio del producto heredará la métrica, que puede pensarse que nos da una idea de lo que es "abierto" también.