¿Cómo evaluar la integral doble sobre una superficie no cerrada?
Dejar $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ y deja $S$ ser la superficie $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Si$\hat{n}$ es una unidad normal a $S$ y $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ Luego $\alpha=?$
No podemos aplicar el teorema de divergencia de Gauss aquí ya que la superficie S no es cerrada. ¿Cómo proceder entonces con esta pregunta? Por favor ayuda.
Respuestas
Observe que el límite de la superficie es la curva. $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$Según el teorema de Stokes, si dos superficies comparten el mismo límite, entonces la integral del rizo en ambas superficies será idéntica. Es decir
$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$
con ambos orientados hacia arriba o hacia abajo.
¿Por qué esto hace la vida más fácil? Para empezar, el jacobiano entre$z=0$ avión y lo habitual $xy$ coordenadas es $1$ (el jacobiano de cualquier cosa de sí a sí mismo es $1$) y el vector normal solo apunta en el $z$ dirección, lo que significa que ni siquiera tenemos que calcular todo el rizo, solo el $z$ componente, que es
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$
Esto nos da la siguiente igualdad
$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$
$2x$ es una función extraña, por lo que su integral desaparecerá en el disco por $x$simetría. La única integral que queda es una constante, que solo nos da el área de la superficie multiplicada por esa constante:
$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$
Así $\alpha =2$