Como evalúas $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$

Question

Esta integral apareció cuando intentaba resolver esto . No sé si es posible obtener una solución general para

$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$

dónde $n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha es capaz de resolver la integral para$n=1,2,3$, pero luego se agota el tiempo de cálculo. Uno puede sustituir$u = \arcsin(x)$ y $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$

WolframAlpha usa algunas identidades trigonométricas para resolver los casos cuando $n=1,2,3$, pero ¿hay alguna manera de resolver para todos $n\in\mathbb{N}$?

Answer 1

Sé que no se puede ayudar con la forma de evaluar, pero Mathematica da la solución$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ que también parece funcionar durante al menos una fracción $n$. $\;_3F_2$utiliza la notación de una función hipergeométrica generalizada . El término más a la derecha está relacionado con la transformada de Mellin de$\arcsin^2(x)$.

La solución de Mathematica probablemente se alcanza usando la representación de $\arcsin(x)$como una función de Meijer-G y resolviendo una forma general para la integral de un par de funciones de Meijer-G . Finalmente, volviendo a convertir el resultado en una función hipergeométrica. Este es un algoritmo común para resolver simbólicamente integrales en general, pero es difícil decirlo con certeza, ya que su integral también está convolucionada con una función de paso de Heaviside.

Es más probable que puedas escribir tu integral como $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$, es decir, la transformada de Mellin del producto de $\Theta(1-x)$ y $\arcsin^2(x)$, que tienen representaciones de Meijer-G $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ y $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ y usa la ecuación $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ o similar, por lo que la computadora es una herramienta muy útil, especialmente para dividir el resultado en términos de identidades hipergeométricas.

Answer 2

Una solución alternativa, evitando funciones especiales.

A veces se puede obtener una integral indefinida si se hace un ansatz sobre la solución, dependiendo de algunos parámetros desconocidos, luego, al diferenciar, se puede obtener el valor correcto de los parámetros.

Suponga que incluso $n=2m$ la solución tiene la forma $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ dónde $P_m,Q_m$ son polinomios de grado $m.$ Entonces, al diferenciar tenemos la identidad $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ Todos los términos deben desaparecer, excepto $x^{2m}\arcsin^2(x)$, entonces, separando los términos que contienen $\arcsin(x)$ de los demás, y con la posición $t=x^2,$ tenemos las dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$de las cuales no necesitamos, ni queremos, las soluciones generales, que contienen raíces cuadradas, sino solo las soluciones polinómicas particulares únicas. Una vez encontradas estas soluciones, es fácil ver que el valor de la integral definida es$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$

De manera similar, por extraño $n=2m+1$, suponemos $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ y yendo directamente a la ecuación diferencial obtenida, son $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (del primero de estos también obtenemos $k=Q_m(0)$).
Nuevamente, buscamos la solución polinomial, y una vez encontrada, tenemos$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$