¿Cómo factorizar este polinomio?
Estaba tratando de factorizar este polinomio:
$x^3 + x^2 - 16x + 20$
Hay cuatro opciones en esta pregunta:
- ( a ) Podría factorizarse de la siguiente forma:$(x^2 + b)(x+c)$;
- ( b ) Podría factorizarse de la siguiente forma:$(x+b)(x+c)(x+d)$, asumiendo que $b \neq c \neq d$
- ( c ) No se pudo factorizar.
- ( d ) Podría factorizarse de la siguiente forma:$(x+b)^2 (x+c) $
Así es como lo intenté: intenté factorizar agrupando la x, por lo tanto obtuve: $x(x^2 + x - 16) + 20$. Ahora, he puesto el$x$ y el $20$ juntos: $(x+20)(x^2 + x - 16)$. Luego, intenté factorizar el segundo término:$(x+20)(x-16)(x+1)$. Entonces, la respuesta sería "b", según este algoritmo.
Terminé la prueba (es una simulación para la prueba de admisión que voy a hacer), presento las respuestas y he notado que esta pregunta no es correcta.
Respuestas
Como @Fernis señaló en los comentarios,
No se puede factorizar $(x+20)$como lo has hecho. No hay un factor común de$(x+20)$ Entre $x^2+x−16$ y $20$.
Utilizando la https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem, puedes saber que las posibles raíces racionales son $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.
Mediante inspección y división polinomial / sintética, puede obtener $(x-2)^2(x-5)$, como dijo @saulspatz. Por lo tanto, (d) es su respuesta.
El más fácil de probar es (d), porque dice que el polinomio tiene una raíz doble. Buscaremos una raíz de la derivada y comprobaremos si cancela el polinomio.
$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$
Ahora $p(2)=0$, ¡bingo!
Éste es fácil de factorizar. Veamos cómo.
Empiece por conectar $x=0,1,-1,2$ y así.
Encontrará por inspección que $x=2$es un cero del polinomio. Por lo tanto,$(x-2)$ es su factor.
Ahora factorice el polinomio de tal manera que $(x-2)$ se vuelve común.
$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$