Cómo obtener el centro de este círculo

Question

Ahora me doy cuenta de que he simplificado demasiado el problema en mi última publicación porque es difícil de explicar con palabras.

Este es el problema original con el que estoy luchando durante más de una semana:

dibujo

Hay dos líneas que se originan en el origen. El ángulo de cada línea en relación con la diagonal es el mismo y se conoce. Un círculo está centrado en la diagonal y solo se dibuja un arco de 90 grados del círculo entre las líneas. En el arco del círculo hay un punto P cuyas coordenadas se conocen. Se desconoce la dimensión y ubicación del círculo, lo único que se sabe es que el punto P se encuentra en el arco y el arco es un segmento de 90 grados de un círculo con su centro en la diagonal.

¿Cómo puedo encontrar las coordenadas del círculo?

Answer 1

Reutilizando la bonita imagen y las notaciones de AugSB , tienes

$$\begin{cases} c_x &= (r+c_x)\tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2 \end{cases}$$

como $c_x=c_y=u_y$ y donde el angulo $A$ se expresa en radianes.

Que es equivalente a

$$\begin{cases} r &=c_x \frac{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{4} -A\right)}\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2 \end{cases}$$

$A$es dado. Reemplazo$r$ de la primera ecuación a la segunda se obtiene una ecuación de segundo grado donde $c_x$ es el único desconocido como $p_x, p_y$son conocidos. Resolviéndolo obtienes el centro deseado$C=(c_x,c_x)$.

Answer 2

Primero, identifiquemos todos los elementos:

• La diagonal $d$ es la linea $y=x$.
• El punto $P$ tiene coordenadas $(p_x,p_y)$.
• Los ángulos están definidos por líneas. $r_A : y=ax$ y $r_B:y=bx$.
• El círculo se cruza con las líneas $r_A$ y $r_B$ en puntos $T : (t_x, t_y)$ y $U : (u_x,u_y)$ respectivamente (hay dos puntos más de intersección, pero debería poder descartarlos mediante inspección).
• Necesitas encontrar el centro $C: (c_x,c_y)$ y el radio $r$ del círculo, que tiene la ecuación: $$(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2 = r^2$$

Ahora, aquí hay varios puntos clave que debe intentar justificar:

• Dado que los ángulos de la diagonal son iguales, $b=1/a$. Usa el ángulo para deducir el valor de a.
• El centro se encuentra en la diagonal, por lo que $c_x=c_y$.
• $d$ es la bisectriz del ángulo entre líneas $r_A$ y $r_B$. Utilice sus propiedades para concluir que$(t_x,t_y)=(c_x,c_x+r)$ y $(u_x,u_y)=(c_x+r,c_x)$.

Finalmente, reemplazando coordenadas en las ecuaciones de las rectas $r_A$, $r_B$ y el círculo, debería poder deducir los valores de $c_x$, $c_y$ y $r$ en términos de $a$, $p_x$ y $p_y$.

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Pasos detallados:

1. La pendiente de $r_A$ viene dada por la tangente del ángel con respecto al eje horizontal: $$a=\tan(\frac{\pi}{4} + A),$$ dónde $A$ es el ángulo entre $d$ y $r_A$. Análogamente, la pendiente de$r_B$ es $$b=\frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4} + A)} = \tan(\frac{\pi}{4} - A).$$
2. Desde el centro $(c_x,c_y)$ Miente en $d$ (de ecuación $y=x$) entonces claramente satisface que $c_x=c_y$.
3. Los puntos de $d$ son equidistantes de $r_A$ y $r_B$ porque $d$es la bisectriz del ángulo. Es más,$\triangle TCU$ debe ser un triángulo rectangular e isósceles (con catetos de longitud $r$). Entonces, la única forma de que esto sea posible es que$\overline{TC}$ es paralelo al eje vertical (de modo que $t_x=c_x$) y $\overline{UC}$ es paralelo al eje horzontal (es decir, $u_y=c_y=c_x$).
4. Tenga en cuenta también que $T$ y $U$ Acuéstese en el círculo, por lo que la distancia a $C$ es $r$. Por lo tanto,$t_y=c_x+r$ y $u_x=c_y+r$.
5. Teniendo en cuenta todos los pasos anteriores, sabiendo que $T$ se encuentra en ambos $r_A$ y el círculo, sus coordenadas deben satisfacer ambas ecuaciones: $$\begin{cases} c_x + r &= c_x \tan(\frac{\pi}{4} + A),\\ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 &= r^2. \end{cases}$$
6. Finalmente, necesitas resolver $r$ en la primera ecuación y reemplazarla en la segunda: $$(p_x-c_x)^2 + (p_y-c_x)^2 = \left(c_x \tan(\frac{\pi}{4} + A) - c_x\right)^2.$$ Expanda esa expresión para obtener una ecuación cuadrática en $c_x$que debería ser fácil de resolver (ver la fórmula cuadrática ) en términos de$p_x$ y $p_y$. El resto de los valores se pueden obtener reemplazando$c_x$ con ese valor.

Answer 3

Una construcción de regla y compás

Después del álgebra, volvamos a la geometría. Aquí hay una construcción de regla y compás .

La construcción proviene de la siguiente idea básica:

• Es fácil construir un arco. $A_0$ tener todas las propiedades requeridas ... excepto que no está pasando $P$.
• A partir de dicho arco, el arco deseado es el que se obtiene como imagen del arco anterior bajo la transformación homotética. $T$.
• La homotecia $T$ es el que tiene por centro el origen $O$ y eso transforma $P_0$ dentro $P$.
• Dónde $P_0$ es la intersección entre el arco $A_0$ y la linea $(O, P)$.

Basado en eso, el centro $C$ del arco deseado $A$ es la intersección de la línea paralela a $(C_0, P_0)$ que pasa a través $P$ con la diagonal principal.

Vea la imagen a continuación.

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