Cómo obtener el siguiente límite:$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Aug 17 2020

Cómo obtener el siguiente límite:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

si dejo$x=r\cos \theta$y$y=r\sin \theta$dónde$\theta\in (0, \pi/2)$, después$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

Parece que el límite no existe.

Respuestas

3 user Aug 17 2020 at 15:54

En estos casos, a menudo una buena estrategia es usar un cambio de variable para hacer que los exponentes sean iguales en el denominador, de hecho, sea$x^4=u$y$y=v$después

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

y podemos concluir fácilmente, por ejemplo, por coordenadas polares o asumiendo dos caminos diferentes como$u=\pm v$.

1 KaviRamaMurthy Aug 17 2020 at 15:50

A lo largo de la curva$y=x^{4}$el limite es$\frac 1 2 $y un largo$y=0$es$0$. Por lo tanto, el límite no existe.