¿Cómo puedo encontrar los criterios para que un polinomio tenga, y solo tenga, raíces dobles?

Aug 19 2020

En el documento de ayuda de la función SolveAlways, vi la condición de que un polinomio tiene una raíz triple.

(*Find a condition for a cubic polynomial to have a triple root:*)
f[x_] := x^3 + a x^2 + b x + c;
SolveAlways[Implies[f[x] == 0 && f[y] == 0, x == y], {x, y}]

Ahora quiero imitar este ejemplo para encontrar una condición de que un polinomio tenga solo una raíz doble (no hay raíces múltiples más altas que cuadráticas).

A = {{1, 2, -3}, {-1, 4, -3}, {1, a, 5}};
f[λ_] := CharacteristicPolynomial[A, λ]
Reduce[Exists[{x, y}, Implies[f[x] == 0 && f[y] == 0, x == y]], {a}]
Solve[(f[x] /. a -> -2) == 0, x]

SolveAlways[Implies[(f[x] == f'[x] == 0), f''[x] != 0], x]

Pero la salida del código anterior no es una condición de juicio. ¿Qué puedo hacer para solucionar este problema?

Respuestas

7 DanielLichtblau Aug 19 2020 at 22:46

Quiere que el discriminante desaparezca y que el discriminante de la derivada no desaparezca.

mat = {{1, 2, -3}, {-1, 4, -3}, {1, a, 5}};
cpoly = CharacteristicPolynomial[mat, x];
disc1 = Discriminant[cpoly, x]
disc2 = Discriminant[D[cpoly, x], x]

(* Out[616]= -288 - 720 a - 504 a^2 - 108 a^3

Out[617]= -4 (2 + 9 a) *)

Ahora resuélvalas.

Reduce[disc1 == 0 && disc2 != 0]

(* Out[618]= a == -2 || a == -(2/3) *)
7 user64494 Aug 19 2020 at 23:47

Haciendo uso de la definición de raíz de multiplicidad 2, se obtiene

A = {{1, 2, -3},{-1, 4, -3},{1, a, 5}};f[\[Lambda]_]:= CharacteristicPolynomial[A,\[Lambda]]
Reduce[Exists[x, f[x] == 0 && f'[x] == 0 && f''[x] != 0], a, Reals]
(*a == -2 || a == -(2/3)*)

Ese enfoque funciona no solo para polinomios.

6 J.M.'sennui Aug 19 2020 at 14:02

Esto es para lo que se puede utilizar el discriminante :

Reduce[Discriminant[CharacteristicPolynomial[{{1, 2, -3},
                                              {-1, 4, -3},
                                              {1, a, 5}}, x], x] == 0, a]
   a == -2 || a == -2/3

Cheque:

With[{a = -2/3}, Eigenvalues[{{1, 2, -3}, {-1, 4, -3}, {1, a, 5}}]]
   {4, 4, 2}

With[{a = -2}, Eigenvalues[{{1, 2, -3}, {-1, 4, -3}, {1, a, 5}}]]
   {6, 2, 2}