¿Cómo representa QFT el dominio de la frecuencia?
QFT a menudo se explica mediante el análogo clásico que convierte una determinada función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Al observar la transformada discreta de Fourier, tiene sentido ver que una onda sinusoidal se convierte en un pico a una determinada frecuencia.
Sin embargo, no veo cómo esta noción de "dominio de frecuencia" se aplica a la transformada cuántica de Fourier. ¿Cómo representa la base de Fourier este dominio de frecuencia?
Si aplicamos un QFT en una "onda sinusoidal" cuántica, ¿generará una determinada frecuencia?
Respuestas
La transformada de Fourier es más general que pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Por ejemplo, los físicos se transforman regularmente de Fourier del espacio de posición al espacio de impulso.
En ambos ejemplos, la transformada de Fourier es una transformación de base, es decir, está transformando los vectores de base utilizados para representar algún estado sin cambiar el estado en sí. Asimismo, la QFT es simplemente una transformación básica de la base computacional a la base de Fourier .
Para ver cómo la QFT se relaciona con las transformadas de Fourier más familiares, puede ser útil considerar cómo se representan los números enteros tanto en la base computacional como en la base de Fourier. Para ilustrar, analizaré un ejemplo específico de QFT para un sistema de cuatro qubits.
En la base de cálculo, los números enteros se representan en forma binaria (con el MSB a la izquierda por convención). Entonces por cuatro qubits$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ Algebraicamente esto viene dado por $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ En las cuatro esferas de Bloch asociadas con $\vert abcd \rangle$, contando desde $\vert 0 \rangle$ a $\vert 15 \rangle$se parece a:
Puede ver que en la representación de las esferas de Bloch, distintos valores de $\vert n \rangle$ se distinguen por conjuntos ordenados de qubits en su polo norte, $\vert 0 \rangle$, o su polo sur, $\vert 1 \rangle$. Intuitivamente, mientras se cuenta, el qubit asociado con el LSB,$\vert d \rangle$, cambia de estado en cada paso, mientras que el qubit asociado con el MSB, $\vert a \rangle$, cambia de estado cada octavo paso. [Tenga en cuenta que la esfera de Bloch es en realidad una esfera de Riemann (es decir, la línea proyectiva compleja), por lo que los estados ortogonales, como$\vert 0 \rangle$ y $\vert 1 \rangle$, están representados por puntos antípodas.]
Los mismos 16 enteros representados sobre la base de Fourier, $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $, viene dado algebraicamente por $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ Ahora, como contamos en la base de Fourier de $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ a $\vert \tilde {15} \rangle$ los cuatro qubits cambian de estado en cada paso, con $\vert \tilde a \rangle$ dar los pasos más grandes (es decir, intercambiar entre $\vert + \rangle$ y $\vert - \rangle$, cual es $\frac{1}{2}$ de vuelta por paso) y $\vert \tilde d \rangle$ dando los pasos más pequeños$\frac{1}{16}$ de vuelta por paso).
En las cuatro esferas de Bloch asociadas con $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$, el conteo en la base de Fourier aparece cuando cada estado de qubit gira en el plano ecuatorial con una frecuencia decreciente de $\vert \tilde a \rangle$ a $\vert \tilde d \rangle$.
En una sola secuencia de conteo desde $\vert \tilde 0 \rangle$ a $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ los qubits asociados con $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$, y $\vert \tilde d \rangle$ hacer exactamente $2^3, \, 2^2, \, 2^1$, y $2^0$rotaciones completas en sus respectivos planos ecuatoriales. Del mismo modo, si consideramos "sin rotación" en el plano ecuatorial como el estado$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$, luego $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ da todos los qubits sin rotar, mientras que $\vert \tilde {15} \rangle$da todos los qubits en su máxima rotación (en la dirección positiva). [Tenga en cuenta que el QFT de un solo qubit es solo la puerta Hadamard,$H$. En turno,$H$es simplemente el DFT de 2 niveles como se indicó en esta respuesta anterior .]
En este ejemplo, puede ver cómo la alta magnitud asociada con$\vert a \rangle$ como componente de $\vert n \rangle$en la base computacional corresponde a una alta frecuencia asociada con$\vert \tilde a \rangle$ como componente de $\vert \tilde n \rangle$ en la base de Fourier, y así sucesivamente para $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$, y $\vert d \rangle$. Es de esperar que esto ayude a hacer más tangible la analogía entre QFT y DFT.
Las ecuaciones utilizadas anteriormente eran específicas del ejemplo de un sistema de cuatro qubits. Se generalizan naturalmente a$N$-sistemas de qubit como $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
Si busca familiaridad y comodidad adicionales con QFT, es un gran ejercicio para convencerse de que tanto $\vert n \rangle$ y $\vert \tilde n \rangle$ son bases ortonormales para $\mathbb{C}^{2^N}$. Otro gran ejercicio es convencerte de que$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ es un operador unitario en $\mathbb{C}^{2^N}$. (Tenga en cuenta que la validez de cualquiera de las afirmaciones de estos dos ejercicios implica la validez de la otra).
Si aplica el $n$-qubit QFT definido como $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ actuando en un estado $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ con $N = 2^{n}$ en una onda de pecado con una frecuencia $k$ definido como $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ con $n > 1$ y $k \neq 0$ para evitar tener solo valores cero, el resultado será $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$. Esto coincide intuitivamente con la transformada de Fourier regular que da$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ por $sin(2 \pi kx)$ si usa la forma de física moderna ($\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$) y con $\omega$denotando frecuencia. Por otro lado, la ola$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ que combina una onda de coseno real con una onda de pecado imaginaria se transforma mucho más naturalmente directamente en $\left|k\right>$.
La correspondencia con la "variable de tiempo" en el QFT no es el tiempo, sino los estados de la base computacional, pero la relación entre las dos bases es similar a la del tiempo y la frecuencia. Si lo tomas$N$ puntos uniformemente espaciados en el círculo unitario complejo que juntos atraviesan todo el círculo ($e^{-2\pi i x/N}$ por $x$ de $0$ a $N - 1$ pasa en el sentido de las agujas del reloj), luego con la amplitud de probabilidad $a_k$ cada frecuencia $k$ corresponde a $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$: el vínculo intuitivo a la "frecuencia" tradicional es cuántas veces el círculo unitario complejo está completamente encerrado a medida que recorre los estados base. La suma de estos para todas las frecuencias devuelve el estado original como de costumbre.