¿Cómo resolver esta congruencia cuadrática? $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$ [duplicar]

Nov 27 2020

Dado $27w^2+20w+35 \equiv 0 \pmod{23}$

¿Cómo resolver esta congruencia cuadrática? Todas las sugerencias son bienvenidas. Completé el cuadrado, así que obtuve$27(x+\frac{10}{27})^2+\frac{845}{27} \equiv 0 \pmod{23} $ Necesito obtener 2 soluciones en el sistema de menor residuo que son las respuestas correctas: $w\equiv 6 \pmod{23}$ y $w \equiv 12 \pmod{23}$

Respuestas

4 ParclyTaxel Nov 27 2020 at 18:22

Para facilitar el cálculo manual, reescribimos la ecuación como $$4w^2-3w+12\equiv0\bmod23$$ Dividir por el coeficiente principal, es decir, multiplicar por $4^{-1}=6$: $$w^2+5w+3\equiv0\bmod23$$ Ahora aplique la fórmula cuadrática: $$w\equiv\frac{-5\pm\sqrt{13}}2\bmod23$$ Necesitamos resolver las raíces cuadradas de $13$ en $\mathbb Z_{23}$. $6$ se verifica fácilmente como una raíz, por lo que $-6$ es el otro: $$w\equiv\frac{-5\pm6}2\equiv9\pm3\bmod23$$

3 NeatMath Nov 27 2020 at 18:23

Insinuación:

$$\pmod{23}: 4w^2-3w+12\equiv 0 \implies 8w^2-6w+1\equiv 0 \implies (2w-1)(4w-1)\equiv 0. $$

Actualización Para justificar por qué multiplico 2 a$4w^2-3w+12$, es más fácil trabajar con números enteros que con fracciones, así que para completar el cuadrado manteniendo todos los coeficientes enteros, multiplicamos por 16:

$$16(4w^2-3w+12)=64w^2-48w+192=(8w-3)^2+183\equiv (8w-3)^2-1 = (8w-2)(8w-4)=8(4w-1)(2w-1) \pmod{23}$$

y ahora ves por qué.

Actualización 2: me gusta la forma en que Parcly Taxel hace primero el monic cuadrático:

$$w^2+5w+3\equiv0\pmod{23}$$

Después de eso, se puede hacer un poco más rápido:

$$w^2-18w+3\equiv 0 \implies (w-9)^2 = 78\equiv 9 =3^2 \implies (w-6)(w-12) \equiv 0 \pmod{23}$$

1 md2perpe Nov 27 2020 at 19:05

Ya que $27 \equiv 4$ podemos escribir la ecuación como $4w^2 + 20w + 35 \equiv 0.$ Completando el cuadrado da $(2w+5)^2 + 10 \equiv 0,$ es decir $(2w+5)^2 \equiv -10.$ Pero $-10 \equiv -10+2\cdot 23=36=6^2,$ entonces $2w+5\equiv\pm 6,$ es decir $2w=-5\pm 6.$

Caso $+$: $2w=-5+6=1\equiv 1+23=24=2\cdot12$ entonces $w\equiv12.$

Caso $-$: $2w=-5-6=-11\equiv -11+23=12=2\cdot6$ entonces $w\equiv6.$

Por tanto, las soluciones son $w=12$ y $w=6$.