¿Cómo se "lee" esta función?

Aug 15 2020

Estoy tratando de entender una prueba en la que tienes que crear una función inyectiva.$g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$($ℕ^ℕ$es el conjunto de todas las funciones de$ℕ$a$ℕ$), y mi libro lo define así:

Entiendo (obviamente) la parte que dice$0.101001000..$pero no entiendo la formula$a_n$. Donde dice "para algunos$k≥1$"¿Significa que tengo que definir$k$ antes de aplicar esa fórmula o tengo que calcular los valores cambiando$k$¿tiempo extraordinario?

Traté de obtener el mismo número que obtuvieron para la función de identidad (el$0.10100..$) pero no puedo ver cómo lo obtuvieron usando la fórmula:
usando la función de identidad$i(n)=n$, con$k=2$la condición "si$n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$se convertiría$2+f(i(0))+f(i(1))$pero como se que valores$f(0)$,$f(1)$etc tiene?

¿Podrían calcular el número que obtuvieron usando la función de identidad usando esa fórmula?

¡Gracias!

Respuestas

1 AlexPeter Aug 15 2020 at 16:19

Es muy probable que se equivocaron y usaron$i$por dos cosas totalmente diferentes. p. ej. significa por ejemplo así$i()$es un ejemplo sencillo para$f()$pero usaron$i$como índice y como nombre de función. Mala gente. Reemplazar$i$cuando se usa para nombre de función, identidad, línea 4, 8 y 11 con por ejemplo$d$y lee de nuevo.

La expresión para$a_n$es innecesariamente complicado, lo que aumenta la confusión. Solo dice que hay$f(0)+f(1)+...+f(m)$ceros más$m$ $1$'s antes de cada$1$en la expansión. Es una inversión lógica que hace que una cosa muy simple suene tan matemática, que es una práctica que puedes encontrar en lugares mucho más serios. Perdón por la tortura.

$f(0)$,$f(1)$son los valores de una función elegida. Así que este párrafo explica cómo mapear una función a un número real. Significa para cualquier función crear este mapeo.

1 ChristianBlatter Aug 15 2020 at 16:17

La oración "¿Cómo sé qué valores$f(0)$,$f(1)$, etc., tienen?" muestra que hay un malentendido en torno: El$f$se le da a usted. Es un "punto" con infinitas coordenadas$\bigl(f(0)$,$f(1)$,$f(2)$,$\ldots\bigr) $. Ahora tiene que codificar este punto en una cadena binaria desde la cual todas las coordenadas$f(i)$se puede recuperar más adelante. Parece que has entendido la idea de la construcción como se demostró en el ejemplo.

El problema ahora es encontrar una descripción "matemática" de la idea de construcción. La descripción dada más o menos transfiere la idea, pero se supone que el lector ya sabe lo que está pasando. Yo lo haría de la siguiente manera: Dado$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, definir números$n_k$ $(k\geq1)$como sigue:$$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$y pon$$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$