¿Cómo trazo el segundo qubit para encontrar el operador de densidad reducida? [duplicar]

Question

Estoy haciendo un ejercicio para rastrear el segundo qubit para encontrar el operador de densidad reducida para el primer qubit:

$tr_2|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$

Me pregunto si puedo rastrear el primer qubit, debería tener:

$tr_1|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$ o $tr_1|11\rangle\langle00| = \langle0|1\rangle|1\rangle\langle0|$ ?

En el libro de texto de Nielsen y Chuang, tenemos $tr(|b_1\rangle\langle b_2|)=\langle b_2|b_1\rangle$. ¿Puedo decir que el lado izquierdo y el derecho son solo dos formas de ubicar un elemento en una matriz? ¡¡Gracias!!

Answer 1

Supongamos que tienes el estado $|\psi\rangle = \dfrac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ entonces su representación de matriz de densidad es

$$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi | = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Ahora, si queremos rastrear el subsistema$B$ para encontrar el operador de densidad del sistema $A$ denotado como $\rho_A$ entonces podemos hacer lo siguiente:

$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Resulta que $\rho_B = Tr_A(\rho)$ es lo mismo que $\rho_A$ aquí y mirando el estado, podría esperar por qué ese es el caso.

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De manera más general, dar un operador de densidad

$$ \rho = \begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12} & \rho_{13} & \rho_{14}\\ \rho_{21} & \rho_{22} & \rho_{23} & \rho_{24}\\ \rho_{31} & \rho_{32} & \rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{41} & \rho_{42} & \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix}$$

luego

$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12}\\\rho_{21} & \rho_{22} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{13} & \rho_{14} \\ \rho_{23} & \rho_{24} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{31} & \rho_{32} \\ \rho_{41} & \rho_{42} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{22} & \rho_{13} + \rho_{24} \\ \rho_{31} + \rho_{42} & \rho_{33} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$

y

$$ \rho_B = Tr_A(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{13}\\\rho_{31} & \rho_{33} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{12} & \rho_{14} \\ \rho_{32} & \rho_{34} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{21} & \rho_{23} \\ \rho_{41} & \rho_{43} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{22} & \rho_{24} \\ \rho_{42} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{33} & \rho_{12} + \rho_{34} \\ \rho_{21} + \rho_{43} & \rho_{22} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$

Answer 2

Si divide su estado en un sistema bipartito $\rho_{AB} \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ entonces una fórmula general para una traza parcial viene dada por:

$$ \text{Tr}_B (\rho) = \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) \rho (I_A \otimes | j \rangle_B) $$

dónde $\{ |j\rangle \}$ es una base para el sistema $B$. En su caso, para la primera declaración, puede usar esta fórmula para encontrar

\begin{align} \text{Tr}_B (|11\rangle\langle00|) &= \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) |11\rangle\langle00| (I_A \otimes | j \rangle_B) \\ &= (I_A \otimes \langle 0 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 0 \rangle_B) \\ &\qquad+ (I_A \otimes \langle 1 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 1 \rangle_B)\\ &= |1\rangle\langle0|_A (\langle 0|1\rangle\langle 0|0\rangle) + |1\rangle\langle 0|_A(\langle1|1\rangle\langle0|1\rangle) \\ &= |1\rangle\langle0|_A \langle 0| 1\rangle (\langle 0|0\rangle + \langle 1|1\rangle) \\ &= 0 \end{align} y puede hacer un cálculo similar para derivar la segunda declaración.