Compacto local y contablemente $T_1$ el espacio es normal

Question

Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene una vecindad compacta; es contablemente compacto si se trata de la unión de un número contable de conjuntos compactos.$T_1$ es equivalente a que cada singleton es un conjunto cerrado, mientras que un espacio normal separa sus conjuntos cerrados disyuntivos con vecindarios abiertos disyuntivos.

Usando esa definición, se afirma que local y contablemente compacto $T_1$el espacio es normal. No pude encontrar una prueba de esto ni derivar una.

Answer 1

No encontró el resultado porque su definición de compacta numerable no es la clásica. Lo que usted dice que es contablemente compacto se conoce como$\sigma$-compacto. Aquí puede encontrar la prueba de que siempre localmente compactos y$\sigma$-El espacio compacto es paracompacto y, por tanto, normal según el teorema de Dieudonné.

https://ncatlab.org/nlab/show/locally+compact+and+sigma-compact+spaces+are+paracompact

Sin embargo, verifique si su definición de compacidad local coincide con la suya (generalmente hay muchas definiciones, pero todas están de acuerdo cuando el espacio topológico es $T_2$).

Answer 2

Esto es falso como se indica:$X=\Bbb N$ en la topología cofinita es $T_1$, compacto (por lo que ciertamente "considerablemente compacto" (en su definición, es mejor usar el estándar $\sigma$-compacto) y "localmente compacto") pero no es normal ya que ni siquiera es Hausdorff.

Se vuelve verdad si cambiamos $T_1$ a Hausdorff, sin embargo.