Comprensión $P_i$ componente primario.
De Álgebra abstracta de Dummit y Foote, después de probar
Dice lo siguiente.
En clase, definimos $N_i$ ser el $p_i$-componente primario de $M$. Pero tengo problemas para entender qué agrupa todos los factores cíclicos correspondientes al mismo número primo$p_i$.
Supongo que en la descomposición, obtenemos números primos $p_1, \ldots p_t$. Y de esos, seleccionamos distintos$p_1, \ldots p_n$. Y decimos$N_i = R/(p_i^{\alpha_s}) \oplus \ldots \oplus R/(p_i^{\alpha_k})$? ¿Y no hay más simplificación posible?
Gracias.
Respuestas
Estás en lo correcto. Dejas$N_i$ ser la suma directa de los componentes correspondientes al primo $p_i$ (donde el $p_i$ahora son primos distintos ). No hay más simplificación posible.
Una cosa a tener en cuenta: el $N_i$ están determinados únicamente por el grupo $M$, pero los componentes dentro de un $N_i$no están determinados de forma única. Por ejemplo, hay muchas formas de descomponer$\mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ como una suma directa de esa forma.