Computación que involucra formas diferenciales complejas

Aug 16 2020

Estoy leyendo esta nota de conferencia sobre geometría compleja y estoy atascado en un cálculo (aparentemente básico) que involucra formas diferenciales complejas. Suponer$X$ es una superficie compleja y $\omega$ es una forma holomórfica (1,0), es decir $\omega$ es asesinado por el operador $\overline{\partial}$. Dejar$\overline{\omega}$ser la forma conjugada correspondiente (0,1). El autor afirma que

\ begin {ecuación *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {ecuación *}

Ahora desde $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, el lado derecho no es más que $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Pero no veo cómo se puede escribir el lado izquierdo en la misma expresión (usando la regla habitual para derivadas exteriores). Se agradecerá cualquier idea.

Respuestas

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 07:27

El LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ es una forma de tres, mientras que el RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$es una forma de cuatro. Ellos no son los mismos.

Mirando la nota, escribieron

Ahora por el teorema de Stokes $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (porque $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

Creo que es solo un error tipográfico y probablemente significan $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$