Concentración de la norma para subgaussianos
Estoy leyendo el teorema 3.1.1 en el libro HDP de Vershynin. El teorema establece que
$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$
los $\psi_2$ norma es la norma de Orlicz con función de Orlicz $\psi(x)=e^{x^2}-1. $
Encontré un lugar que no entiendo en la prueba.
Toda la prueba solo mostró que $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $es una variable aleatoria subgaussiana. Y en la última oración, el autor acaba de decir que es equivalente a la conclusión del teorema.
Me gustaría preguntar sobre la equivalencia en la última oración.
Intenté mirar la propiedad de centrado de sub-gaussiano, pero parece que $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. Se agradece cualquier sugerencia o idea.
Respuestas
Tomé el curso HDP en el que se basa este libro y creo que estos resultados también me tomaron un tiempo. Hay un poco de razonamiento de "sentimiento circular" que tienes que hacer que no es (al menos para mí) inmediatamente obvio. En resumen, hay dos cosas en juego:
- Primero, de la demostración tenemos la desigualdad de concentración $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ que vale para todos $t \geq 0$. Como mencionas, esto implica que el término de valor absoluto es sub-gaussiano con parámetro$K^2$. De la Proposición 2.5.2, sabemos que hay un equivalente (hasta un factor constante)$K_1=c_1K^2$ tal que $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
- De la definición de la norma Orlicz, $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$que especifica la norma como el mínimo o mínimo positivo$t$ con $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. De esto, concluimos que la norma no debe ser más de$K_1$. Nos relacionamos$K_1$ a $K^2$ arriba y el resultado sigue.