condición para que dos curvas tengan una tangente común
Considere las curvas $by=x^2+x+\frac{b}{24}$ y $bx=y^2+y+\frac{b}{24}$ si ambas curvas tienen una tangente común, ¿qué valores puede tomar b?
Observé que ambas curvas son inversas o simétricas con respecto a $y=x$. Mi intuición es que esta es la clave del problema, pero no puedo ir más lejos.
Así que intenté usar la fórmula general para la tangente a una parábola de la forma $(y-f)^2=4a(x-g)$ cual es $y-f=m(x-g)+\frac{a}{m}$ pero la expresión se vuelve demasiado complicada. Finalmente intenté dibujar un boceto aproximado para tener una idea, pero tengo que considerar demasiados casos secundarios.
Encontré este problema en una prueba simulada que espera que usted resuelva el problema en 2 minutos, así que supongo que existe un método relativamente simple para abordar este problema. Se agradecerá cualquier ayuda.
Editar Estoy de acuerdo con todas las respuestas que se dan a continuación. Pero cuando miré la solución, no tengo ni idea de lo que están tratando de hacer. Entiendo cómo llegaron$b=\frac{3}{2} and \frac{2}{3}$. No entiendo el resto de la parte es como sigue.
dejar $a=\frac{1}{b}$ si las 2 curvas se intersecan en P1 y P2 pero en P1 la tangente a la primera curva es perpendicular ay = x entonces es tangente a la segunda curva en P1.
pendiente de la tangente =$2ax+a$ Como (a, x) satisface este
$2ax+a=-1$ y resolviendo con $x=ax^2+ax+\frac{1}{24}$
$a=\frac{-13+\sqrt{601}}{12}=\frac{1}{b}$
He escrito la respuesta tal como se ha dado. Parece bastante absurdo.
Respuestas
Las parábolas están sobre la línea $y=x$ (son una imagen especular el uno del otro sobre la línea $y=x$). Entonces sus tangentes comunes también serán simétricas antes$y=x$. Surgen dos posibilidades:
Caso 1: $x=y$ es una tangente común:
Si tienen que tener una tangente común, al poner $y=x$ en uno de ellos da $$x^2+(1-b)x+b/24=0$$, esta cuadrática debe tener solo una raíz real, por lo que la condición $B^2=4AC$ necesita ser satisfecho: $$(1-b)^2=\frac{b}{6} \implies 6b^2-12b+6=0 \implies b=\frac{13\pm 5}{12} \implies b=\frac{3}{2},\frac{2}{3}.$$ Sólo cuando $b=3/2, 2/3$ $y=x$ es la tangente común.
Caso 2: cuando $x+y=-k$ es la tangente común (más general)
Entonces ponemos $y=-k-x$ en la primera parábola para conseguir $$x^2-(1+b)x+bk+b/24=0$$ Por tangencia exigimos $B=4AC$, obtenemos $$(1+b)^2=4bk+b/24 \implies k=\frac{(1+b)^2}{4b}-\frac{1}{24}~~~~(*)$$ Por lo tanto, por cualquier valor real de $b$ $x+y=-k$, será una tangente común a estas parábolas cuando $k$ viene de $(*)$.
Caso 3: dos tangentes comunes
Curiosamente $b=3/2,2/3$ da $k=1.$ Entonces $x+y=1$ y $y=x$ son dos tangentes comunes a las dos parábolas dadas.
Consulte las figuras siguientes para $b=4$ (una tangente común, $x+y=73/48.$) y para $b=3/2$ (dos tangentes comunes $y=x, x+y=1$).
Considere la línea recta de la ecuación
$$x+y=c.$$
Lo cruzamos con la parábola
$$by=x^2+x+\frac b{24}$$ y eliminando $y$obtenemos una ecuación cuadrática. El discriminante es
$$(b+1)^2-\frac b6+4bc$$
y cancela (doble raíz) cuando
$$c=\frac1{24}-\frac{(b+1)^2}{4b}.$$
Esto corresponde a una tangente a la primera parábola, y por intercambio de $x,y$, también es tangente al segundo. Por tanto, existe una tangente común para todos$b\ne0$.
Fi, con $b=4$,
