Condiciones de convergencia para un esquema iterativo

Question

Dejar$A$sea ​​una matriz singular y simétrica, con$\lambda_1=0$y$\lambda_i >0$por$i=2,\ldots,n$.

Considere la iteración

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

¿Bajo qué condiciones en$x_0$,$\alpha$y$b$, ¿converge a la verdadera solución de$Ax =b$?

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Realmente no puedo moverme. traté de calcular$e_{k+1}$pero no pude encontrar ninguna relación útil. Además, no sé cómo encontrar algunas restricciones en$x_0$.

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EDITAR

Traté de seguir los comentarios de @uranix y encontré:$$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

que reescribo (usando consistencia) como$$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

Por lo tanto$$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

Ahora requeriría que el radio espectral sea menor que$1$, pero desde$$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$Tengo que el primer valor propio es$1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

Así que no puedo decir nada sobre la convergencia... debe haber otra forma. De hecho, no usé simetría y tampoco condiciones en$x_0$, como está escrito en el texto

Answer 1

Una pequeña pista.

Como dije en los comentarios, considere la base del valor propio. Los vectores base son ortogonales y se pueden escalar para formar una base ortonormal:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

Expansión de vectores de error sobre la base$e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$permite reescribir la condición de convergencia usando coeficientes de expansión. Usando la identidad de Parseval$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$obtenemos que$e_k \to 0$sucede solo si para todos$m$cada coeficiente converge a cero, es decir$$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

actuando con$(I - \alpha A)^k$en$e_0$actúa sobre cada valor propio por separado:$$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

Comparando el lado derecho con$\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$inmediatamente obtenemos la relación$$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

Ahora te toca a ti encontrar las condiciones cuando$\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$para cada$m = 1,\dots,n$.