¿Condiciones necesarias (y suficientes) para que el siguiente producto de matriz sea simétrico positivo definido?

Aug 16 2020

Arreglar algunos $n\times n$ matriz definida positiva simétrica $A$. Considere el siguiente producto de matriz,

$$B = AC$$

dónde $C$ es un arbitrario $n\times n$matriz. Dado$A$, Me gustaría saber si se conocen las condiciones necesarias y suficientes en todas las matrices cuadradas $C$ tal que la matriz resultante $B$¿También es simétrico positivo definido? Me interesa más conocer (si es posible) las condiciones necesarias.

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Solo me preocupan las matrices reales.

Respuestas

2 ChrisRamsey Aug 16 2020 at 08:22

Si $C$ es una matriz real definida positiva que conmuta con $A$ entonces $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$que es positivo definido. Por tanto, esta es sin duda una condición suficiente.

Sin embargo, está lejos de ser necesario. Considere eso$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

No estoy convencido de que vaya a haber una condición agradable que describa completamente tal $C$.

Una condición necesaria es que $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Si además $C$ es simétrico, entonces conmuta con $A$ y entonces $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ lo que implica que $C$ es positivo definido ya que $A^{-1}$ es positivo también.

Apenas una respuesta completa, pero eso es todo lo que tengo por ahora.