Conexión entre varias soluciones de $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ y campos cúbicos de Galois norm-euclidianos

Aug 20 2020

Recientemente me encontré con el siguiente problema:

"Encuentra el valor mínimo de $m \in \Bbb N$ tal que $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ tiene al menos $n$soluciones. Tenga en cuenta que los valores de$x$ que son mod congruentes $m$ se consideran la misma solución ".

No pude encontrar ningún enfoque. Sin embargo, usando un programa, pude calcular los siguientes resultados y observar un patrón:

  • Xa $n \leq 3$, el mas pequeño $m$ estaba $7$.

  • Xa $3 <n \leq 9$, el mas pequeño $m$ estaba $63 = 7 \cdot 9$.

  • Xa $9 <n \leq 27$, el mas pequeño $m$ estaba $819 = 7 \cdot 9 \cdot 13$.

  • Xa $27 <n \leq 81$, el mas pequeño $m$ estaba $15561 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19$.

  • Xa $81 <n \leq 243$, el mas pequeño $m$ estaba $482391 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31$.

  • Xa $243 <n \leq 729$, el mas pequeño $m$ estaba $17848467 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37$.

  • Xa $729 <n \leq 2187$, el mas pequeño $m$ estaba $767484081 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$.

Una búsqueda rápida de $7, 9, 13, 19, 31, 37, 43$en OEIS produjo la secuencia finita de raíces cuadradas de discriminantes de campos cúbicos de Galois norm-euclidianos . También coincide con la secuencia de raíces cuadradas de discriminantes de campos numéricos cúbicos de Galois que poseen una clase ideal euclidiana normal .

Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer con esto, ya que acabo de comenzar a aprender aritmética modular. Por lo tanto, me gustaría preguntar: ¿Cómo se conecta la ecuación modular anterior con la teoría algebraica de números? ¿Por qué los valores de$n$limitado por potencias de tres? ¿Existe un método más sencillo para encontrar el$m$ dado $n$? ¿Cuáles son las consecuencias de que los campos sean finitos?

Respuestas

3 JyrkiLahtonen Aug 20 2020 at 20:52

No necesitas la teoría algebraica de números para resolver tu pregunta inicial. El siempre útil teorema chino del residuo es más o menos todo lo que necesitas.

Si $m=\prod_ip_i^{a_i}$ es la factorización prima de $m$, entonces CRT dice que tenemos un isomorfismo de grupos multiplicativos $$ \Bbb{Z}_m^*=\bigoplus_j\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*. $$ Buscas la cantidad de elementos de pedido $3$ (o $1$) en este grupo. El mejor$p=2$no es interesante. Para todos los primos$p_i>2$ es bien sabido que $\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*$ es cíclico de orden $\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$

De ello se deduce que el número de soluciones de $x^3\equiv1\pmod{p_i^{a_i}}$ es tres si tenemos $p_i=3, a_i>1$o $p_i\equiv1\pmod3$.

Observe que todos los factores primos de los números que encontró cumplen con este criterio. De todos modos, observamos además que

  • Por CRT el número de soluciones de $x^3\equiv1\pmod m$ es el producto del número de soluciones de la misma congruencia módulo los factores primos de potencia $p_i^{a_i}$.
  • Entonces, con el propósito de minimizar $m$ es inútil para $m$ tener factores primos distintos de $3^2$ y $p_i^1, p_i\equiv1\pmod3$.

Todos los números que encontró son productos de $9$ y los primos distintos más pequeños $\equiv1\pmod3$. Eso es todo al respecto.