Conexión entre varias soluciones de $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ y campos cúbicos de Galois norm-euclidianos
Recientemente me encontré con el siguiente problema:
"Encuentra el valor mínimo de $m \in \Bbb N$ tal que $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ tiene al menos $n$soluciones. Tenga en cuenta que los valores de$x$ que son mod congruentes $m$ se consideran la misma solución ".
No pude encontrar ningún enfoque. Sin embargo, usando un programa, pude calcular los siguientes resultados y observar un patrón:
Xa $n \leq 3$, el mas pequeño $m$ estaba $7$.
Xa $3 <n \leq 9$, el mas pequeño $m$ estaba $63 = 7 \cdot 9$.
Xa $9 <n \leq 27$, el mas pequeño $m$ estaba $819 = 7 \cdot 9 \cdot 13$.
Xa $27 <n \leq 81$, el mas pequeño $m$ estaba $15561 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19$.
Xa $81 <n \leq 243$, el mas pequeño $m$ estaba $482391 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31$.
Xa $243 <n \leq 729$, el mas pequeño $m$ estaba $17848467 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37$.
Xa $729 <n \leq 2187$, el mas pequeño $m$ estaba $767484081 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$.
Una búsqueda rápida de $7, 9, 13, 19, 31, 37, 43$en OEIS produjo la secuencia finita de raíces cuadradas de discriminantes de campos cúbicos de Galois norm-euclidianos . También coincide con la secuencia de raíces cuadradas de discriminantes de campos numéricos cúbicos de Galois que poseen una clase ideal euclidiana normal .
Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer con esto, ya que acabo de comenzar a aprender aritmética modular. Por lo tanto, me gustaría preguntar: ¿Cómo se conecta la ecuación modular anterior con la teoría algebraica de números? ¿Por qué los valores de$n$limitado por potencias de tres? ¿Existe un método más sencillo para encontrar el$m$ dado $n$? ¿Cuáles son las consecuencias de que los campos sean finitos?
Respuestas
No necesitas la teoría algebraica de números para resolver tu pregunta inicial. El siempre útil teorema chino del residuo es más o menos todo lo que necesitas.
Si $m=\prod_ip_i^{a_i}$ es la factorización prima de $m$, entonces CRT dice que tenemos un isomorfismo de grupos multiplicativos $$ \Bbb{Z}_m^*=\bigoplus_j\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*. $$ Buscas la cantidad de elementos de pedido $3$ (o $1$) en este grupo. El mejor$p=2$no es interesante. Para todos los primos$p_i>2$ es bien sabido que $\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*$ es cíclico de orden $\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$
De ello se deduce que el número de soluciones de $x^3\equiv1\pmod{p_i^{a_i}}$ es tres si tenemos $p_i=3, a_i>1$o $p_i\equiv1\pmod3$.
Observe que todos los factores primos de los números que encontró cumplen con este criterio. De todos modos, observamos además que
- Por CRT el número de soluciones de $x^3\equiv1\pmod m$ es el producto del número de soluciones de la misma congruencia módulo los factores primos de potencia $p_i^{a_i}$.
- Entonces, con el propósito de minimizar $m$ es inútil para $m$ tener factores primos distintos de $3^2$ y $p_i^1, p_i\equiv1\pmod3$.
Todos los números que encontró son productos de $9$ y los primos distintos más pequeños $\equiv1\pmod3$. Eso es todo al respecto.