Conexiones inusuales de números
Tengamos la ecuación $(DX)^2-Y^2= ± Z^5$ y $x,y$dos enteros positivos mayores que cero. A partir de algunos hechos, podemos obtener soluciones de la ecuación anterior dando valores enteros en$x,y$. Ejemplos:
Si $x=11$ y $y=2$ entonces tenemos la solución $11*(641)^2-(2122)^2=7^5$;
Si $x=5$ y $y=2$ entonces tenemos la solución $5*(305)^2-(682)^2=1^5$;
Si $x=7$ y $y=4$ entonces tenemos la solución $7*(2449)^2-(6484)^2=(-9)^5$.
El rompecabezas es:
¿Puede presentar más soluciones de este tipo?
¿Cuál es el truco para resolver estas ecuaciones?
Respuestas
El proceso de cálculo
Dado $x$ y $y$, calcular
$x-y^2=Z$,
así que eso
$(y-\sqrt{x})(y+\sqrt{x})=-Z$.
Tomando poderes, esto significa
$(y-\sqrt{x})^5(y+\sqrt{x})^5=-Z^5$.
Ahora sabemos que
$(y+\sqrt{x})^5$ es un número en la forma $Y+X\sqrt{x}$ para algunos enteros $X,Y$, y luego por conjugación $(y-\sqrt{x})^5=Y-X\sqrt{x}$.
Entonces hemos encontrado una solución
$(Y-X\sqrt{x})(Y+X\sqrt{x})=-Z^5$,
o en otras palabras $DX^2-Y^2=Z^5$ con
$D=x$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$,
o en la notación del OP $(DX)^2-Y^2=Z^5$ con
$D=\sqrt{x}$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$.
Un ejemplo
Comencemos con el ejemplo relativamente simple $x=2,y=1$ y calcule de la siguiente manera:
-
$Z=1$, $(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$,
-
$(1+\sqrt{2})^5=1+5(\sqrt{2})+10(2)+10(2\sqrt{2})+5(4)+(4\sqrt{2})=41+29\sqrt{2}$,
-
$(41-29\sqrt{2})(41+29\sqrt{2})=(-1)^5$,
y la solucion $2*(29)^2-(41)^2=1^5$, que se puede comprobar con la calculadora.
Como otro ejemplo con un valor par de $Z$, usemos $x=3,y=1$ y obten:
-
$Z=2$, $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=-2$,
-
$(1+\sqrt{3})^5=1+5(\sqrt{3})+10(3)+10(3\sqrt{3})+5(9)+(9\sqrt{3})=76+44\sqrt{3}$,
-
$(76-44\sqrt{3})(76+44\sqrt{3})=(-2)^5$,
y la solucion $3*(44)^2-(76)^2=2^5$, que se puede comprobar con la calculadora.
Mi proceso de pensamiento
Parece probable que todo este rompecabezas tenga que ver con
La ecuación de Pell y la teoría asociada de los campos numéricos algebraicos,
de hecho, el segundo de los ejemplos dados en el OP es en realidad una solución de esta ecuación. La nueva característica de este acertijo, en comparación con lo que aprendí en los cursos de teoría de números de pregrado, es la participación de los quintos poderes. ¿Cómo podemos relacionar los quintos poderes con
la aritmética de raíz cuadrada que permite soluciones de la ecuación de Pell? Bueno, si tenemos$a-b\sqrt{d}$ dando lugar a un número entero $n$ cuando se multiplica por su conjugado, entonces $(a-b\sqrt{d})^5$ igualmente dará lugar al número entero $n^5$.
Luego vi el patrón en los valores dados que
$11-2^2=7$, $5-2^2=1$, $7-4^2=-9$,
lo que me confirmó la dirección en la que abordar este rompecabezas.