Confundido sobre el producto tensorial de los módulos R
En el libro de Tu sobre geometría diferencial, primero define $Free(V\times W)$ como:
$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ donde la suma es finita.
La forma en que lo entiendo es que la construcción anterior es de combinaciones formales y se olvida de la estructura real de los módulos. En otras palabras, si$v_1+v_2 = v_3$, no es cierto que en $Free(V\times W)$ ese $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$
Ahora, para formar el producto tensorial cociente por el submódulo, $S$ abarcado por elementos de la forma: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Luego tenemos un mapa del producto al producto tensorial, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$
Sin embargo, si $v_3 = v_1 + v_2$, entonces no puedo mostrar eso $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ cuál debería ser el caso si $\otimes$es un
módulo de mapa bilineal de homomorfismo
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Respuestas
Ya que $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ y $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ es definido por $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ la condición $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ nos dice que $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ que es lo mismo que $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. También observe que las otras relaciones que definen$S$ Nos da \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}
Recuerda que si $M$ es un $R$-módulo y $S$ es un submódulo de $M$, el cociente $M/S$ es definido por $M/\!\sim$, dónde $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ En este caso, la clase de equivalencia de $m \in M$ es dado por $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (por lo tanto $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), y definimos un $R$-estructura del módulo en $M/S$ por $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$
Entonces, para la posteridad, quiero escribir una respuesta para otros que puedan tener la misma confusión. Como aclaró @KCd, los elementos de$Free(V\times W)$ son de la forma,
$$\sum r_i(v_i, w_i)$$
Sin embargo, si escribimos un elemento particular de $Free(V\times W)$ como $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ y $v_3 = v_1 + v_2$ entonces $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ En otras palabras, dentro de nuestros paréntesis en nuestra notación no estamos tomando sumas formales, sino combinando elementos del módulo como lo haríamos normalmente.