Confusión en torno al álgebra de ecuaciones de reflexión

Aug 21 2020

Me he encontrado con varias apariciones de la llamada álgebra de ecuaciones de reflexión (REA), pero dependiendo de dónde las encuentre, siento que obtengo objetos ligeramente diferentes. En todos los casos hay un álgebra de Hopf cuasi triangular acechando en el fondo. En lo que sigue$V$ siempre será un espacio vectorial de dimensión $n$. Aquí hay una lista de las diferentes ocurrencias que encontré:

  1. Dejar $H$ ser un álgebra de Hopf cuasi triangular con $R \in H \otimes H$ es universal $R$-matriz (aquí posiblemente tengamos terminaciones pero realmente no importa). El álgebra de reflexión es entonces como espacio vectorial el dual restringido$H^\circ$. Esa es la subálgebra del dual completo abarcado por los llamados coeficientes matriciales. La estructura del álgebra proviene de la estructura del álgebra del dual completo pero retorcida por el universal.$R$-matriz. Creo que esto a veces se llama el dual trenzado de$H$. Véase, por ejemplo, la definición 4.12 dehttps://arxiv.org/pdf/math/0204295.pdf

  2. Dejar $R: V \otimes V \rightarrow V \otimes V$ ser un endomorfismo de $V \otimes V$satisfaciendo la ecuación de Yang-Baxter. Entonces el álgebra de la ecuación de reflexión si el álgebra generada por elementos$(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ con relación $$RA_1RA_1 = A_1RA_1R$$ dónde $A$ es la matriz $n \times n$ teniendo los elementos generadores como coeficientes y $A_1 = A \otimes Id$. Creo que aquí se piensa que los elementos generadores son elementos de$V^{\ast} \otimes V$. Esto se encontró al comienzo de la introducción dehttps://arxiv.org/pdf/1806.10219.pdf

  3. Éste es un ejemplo especial. Aquí el álgebra de Hopf que acecha en el fondo es$U_q(\frak{sl_2})$ y el $R$-matriz está dada por $$ \begin{pmatrix} q & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & q-q^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& q \end{pmatrix}.$$ En este caso es el álgebra generada por los elementos $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ con relación: $$R_{21}A_1RA_2 = A_2R_{21}A_1R$$ y también $$ a_{11}a_{22}- q^2a_{12}a_{21} = 1.$$ Esta álgebra a menudo se denota por $\mathcal{O}_q(SL_2)$ o algunas veces $\mathcal{O}(Rep_q(SL_2))$. Esto apareció como ejemplo 1.23 enhttps://arxiv.org/pdf/1908.05233.pdfy también como Definición 2.1. enhttps://arxiv.org/pdf/1811.09293.pdf (tenga en cuenta la nota al pie para recuperar lo que escribí).

Puedo ver cómo se relacionan algunos de ellos, por ejemplo el tercero es casi un caso específico del segundo pero hay una relación más.

En el primero, se puede pensar que los elementos de la matriz están en $W^{\ast} \otimes W$ para cualquier representación $W$ de $H$. En el caso donde cualquier representación de dimensión finita de$H$ puede verse como una subrepresentación de un producto tensorial de la representación estándar $V$, entonces en realidad se genera solo por los coeficientes de la matriz que provienen de $V$Entonces se parece mucho a lo que tenemos en 2). Sin embargo, todavía falta una relación si uno se especializa en el caso.$H = U_q(\frak{sl2})$para obtener lo mismo que en 3). ¿Y si hay una representación de$H$ que no es una subrepresentación de un producto tensorial del estándar?

PREGUNTA: ¿Todos esos son realmente lo mismo o me estoy perdiendo algo? Estoy un poco confundido sobre lo que la gente realmente llama álgebra de ecuaciones de reflexión. ¿Existe algún tipo de definición agradable para cualquier álgebra de Hopf cuasi triangular?$H$ que engloba todos los "ejemplos" anteriores?

Respuestas

3 Adrien Aug 21 2020 at 17:57
  1. La única definición razonable de REA asociada con un álgebra de Hopf cuasi triangular es 1). Esta es, por supuesto, una definición algo abstracta, pero proporciona una solución de la ER que es universal en un sentido preciso.
  2. es una reminiscencia de la construcción llamada Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (generalmente abreviado como FRT). Su principal ventaja es que no requiere un álgebra de Hopf para empezar (más bien, en la construcción FRT original, el objetivo era producir un álgebra de Hopf a partir de una solución arbitraria de QYBE). Aunque$R$ vienen de un álgebra de Hopf cuasi-triangular, no dará la misma respuesta que 1) excepto en el caso de $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ (incluso entonces esto no es del todo cierto, obtienes cierta deformación de $\mathcal O(\mathfrak{gl}_n)$ Más bien que $\mathcal O(GL_n)$). En general habrá un mapa de 2) a 1).
  3. Por otro lado, como dices, puedes ejecutar esta construcción en el caso $V$es alguna representación que genera todos los demás. De hecho, este enfoque es útil para encontrar una presentación del REA, ya que de hecho se genera mediante coeficientes matriciales: en términos generales, esto le dará un conjunto de generadores pero no en general todas las relaciones. Esto es lo que sucede aquí: si ejecuta la reconstrucción similar a FRT para la matriz R de$\mathfrak{sl}_n$ obtienes algo de álgebra, pero luego necesitas agregar esta relación adicional que mencionas que, como probablemente sabes, no es más que una $q$-análogo de $\det(A)=1$. De nuevo, esto ya se muestra en la situación original, consulte la Definición 4 enhttp://math.soimeme.org/~arunram/Resources/Reshetikhin/QuantizationOfLieGroupsAndLieAlgebras.html.

Editar Es útil pensar en propiedades universales: 1) es universal para álgebras$A$ con una solución del RE en $A\otimes H$, mientras que 2) es universal para álgebras $A$ con una solución del RE en $A\otimes End(V)$. Por supuesto, componer con el mapa de álgebra$H\rightarrow End(V)$ dado por la acción de $H$ en $V$ cada solución de la primera ecuación te da una solución a la segunda, así que aplicando esto al caso $A$ es el REA en sí mismo, obtienes un mapa del álgebra construido en 2) al construido en 1).

3 JulesLamers Aug 22 2020 at 12:24

Permítanme señalar primero que la matriz de reflexión, que denota por $A$, a menudo se denomina matriz K, cf su representación gráfica con | una 'pared' y <la 'línea de mundo' de la partícula que rebota en la pared. La forma gráfica de la ecuación ya se puede encontrar en Cherednik, Factorizar partículas en una media línea y sistemas de raíces (1984)https://link.springer.com/article/10.1007/BF01038545. La notación$K$podría deberse a Sklyanin, Condiciones de frontera para sistemas cuánticos integrables (1988),https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/21/10/015.

El álgebra de reflexión (ecuación) es el análogo de la ecuación de reflexión del álgebra de Yang-Baxter: a cualquier elección de espacio vectorial de dimensión finita y matriz R que obedece a la ecuación de Yang-Baxter (y otras propiedades adecuadas, como la unitaridad de trenzado y una 'condición inicial') se puede asociar un álgebra asociativa unital generada por las entradas (no conmutativas) valoradas por el operador de la matriz K que obedecen a la ecuación de reflexión.

Si uno reemplazara el reflejo (`$RKRK$') ecuación por la $RLL$-La ecuación uno en cambio llega al álgebra de Yang-Baxter, que es el álgebra de operadores estrechamente relacionada con la presentación FRT (o matriz R) de álgebras afines cuánticas.

Re 3: La presentación FRT no dice nada sobre el determinante cuántico, así que para obtener $SL_n$ necesitas imponer $qdet = 1$ por separado, que es su última ecuación en 3. La versión de la ecuación de reflexión que da allí a veces se puede simplificar: Suponga que la matriz R es simétrica en el sentido de que $P R P = R$ con $P$la permutación. Luego$R_{21} = R_{12}$en la notación habitual de tensor-leg. En tales casos, todas las matrices R en la ecuación de reflexión se pueden escribir usando solo$R$. (Gráficamente la necesidad de$R_{21}$ es claro, sin embargo.)

Re 2: Estos autores trabajan con la versión en forma de trenza de la matriz R, a menudo denotada por $\check{R}$. Es decir, suponga que$R$ obedece al YBE

$$ R_{12}(u,v) \ R_{13}(u,w) \ R_{23}(v,w) = R_{23}(v,w) \ R_{13}(u,w) \ R_{12}(u,v) \ , $$

donde he asumido que la matriz R podría depender de un parámetro espectral asociado a cada copia del espacio auxiliar en general. (Esto es para el caso afín, pero ayuda a resaltar la estructura de la ecuación).$P \ R$ y $R \ P$ obedecer la versión trenzada del YBE

$$ \check{R}_{12}(u,v) \ \check{R}_{23}(u,w) \ \check{R}_{12}(v,w) = \check{R}_{23}(v,w) \ \check{R}_{12}(u,w) \ \check{R}_{23}(u,v) \ . $$

Siempre tienes que comprobar qué versión se utiliza. En el artículo que citas en 2 es el último, por lo que tanto$A$s tienen el mismo subíndice.

Re 1: Creo que la interpretación algebraica adecuada de la construcción de Sklyanin de las representaciones de la matriz K como la matriz de monodromía de dos filas, construida a partir de una matriz K con entradas escalares y un operador L, es como una subálgebra coideal , ver Kolb y Stokman, álgebras de ecuaciones de reflexión, subálgebras coideales y sus centros ,https://arxiv.org/abs/0812.4459.

También podría estar interesado en el artículo reciente de Appel y Vlaar, Matrices k universales para álgebras cuánticas de Kac-Moody ,https://arxiv.org/abs/2007.09218