Confusión sobre la continuación analítica.
La definición de continuación analítica de la función holomorfa se establece de la siguiente manera:
Dejar$f_{1}$y$f_{2}$ser dos funciones analíticas en dos dominios (abierto y conectado)$\Omega_{1}$y$\Omega_{2}$tal que$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$. Si$f_{1}$y$f_{2}$acordar$\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, decimos$f_{2}$es la continuación analítica de$f_{1}$en$\Omega_{2}$, y viceversa.
Una versión más pequeña de esto es que:
Si$f$es analítico en un dominio$D\subset\mathbb{C}$y$F$es analítico en un dominio más grande$E\subset\mathbb{C}$tal que$f=F$en$D\subset E,$luego$F$es la continuación analítica de$f$en$E$.
Por lo que leí, este tipo de técnica nos permite definir una función en un dominio más pequeño y extenderla analíticamente a un dominio más grande. Pero no entiendo por qué esta definición nos permite hacerlo.
Lo que me confunde es que la definición solo garantiza$f=F$en la intersección$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, así que tal vez$f\neq F$en$\Omega_{2}$, entonces como lo se$f$es analítico en$\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?
Traté de usar el teorema de identidad de la siguiente manera:
Dejar$f$y$g$ser dos funciones holomorfas en un dominio$D$tal que$f=g$en un subconjunto$S\subset D$que contiene un punto límite, entonces$f=g$en conjunto$D$.
Pero esto parece al revés. Por la hipótesis de la continuación analítica, sólo tenemos$f=g$en$S$, y$g$es analítico en$D$, no sabemos realmente si$f$es analítico en general$D$(este es el propósito de la continuación analítica, ¿verdad? extender$f$analíticamente a la totalidad$D$.)
¿Estoy pensando demasiado en esto y confundiéndome? Supongo que deberíamos tener, digamos$f_{1}=f_{2}$en conjunto$\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$, pero no sé cómo demostrarlo.
Edición 1: (Alguna aclaración, posible respuesta y referencia)
Lo siento si estoy haciendo una pregunta confusa (mala). Mi confusión es que, aunque existe la continuación analítica, no creo que eso signifique nada útil. Sólo nos da una función analítica.$F$en un dominio más grande$\Omega_{2}$tal que$F|_{\Omega_{1}}=f$por$\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$. Pero no dice nada sobre$f$,$f$todavía está en$\Omega_{1}$. Entonces no entiendo por qué la continuación analítica puede extender el dominio en el que$f$es analítico.
El libro "Análisis y aplicaciones complejas" de Hemant Kumar Pathak, tiene un capítulo sobre la continuación analítica.
Como sugirió José, no tiene sentido decir$f=F$en$\Omega_{2}$, porque$f$Está encendido$\Omega_{1}$.
El libro explica que si tenemos una continuación analítica de$f_{1}$desde$\Omega_{1}$dentro$\Omega_{2}$vía$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, entonces el valor agregado de$f_{1}$en$\Omega_{1}$y$f_{2}$en$\Omega_{2}$se puede considerar como una sola función$f(z)$analítico en$D_{1}\cup D_{2}$tal que$$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$
Esto realmente aclara las cosas. Esto es como lo que hicimos cuando queremos eliminar la singularidad: si$f_{1}$tiene una singularidad removible en$z_{0}$, entonces en realidad extendemos$f_{1}$para$f$definiendo$$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$
Por lo tanto, en realidad estamos extendiendo$f_{1}(z)$para$f(z)$, No a$f_{2}(z)$. Estamos más o menos completos$f_{1}(z)$dentro$\Omega_{2}$definiendo$f(z)$.
Espero que mi explicación pueda ayudar a otras personas que estudian el análisis complejo y encuentran confusa la continuación analítica.
¡Siéntase libre de agregar cualquier cosa más!
Respuestas
Esos teoremas no se refieren a la extensión de funciones analíticas, en el sentido de que no se refieren a la posibilidad de extender tal función. Lo que dicen es que puedes extender una función analítica, como máximo, de una sola manera. Por lo tanto, se trata de la singularidad de las extensiones, no de su existencia .
Para ser más precisos, dicen que si$\Omega_1$y$\Omega_2$son dominios, con$\Omega_1\subset\Omega_2$, y si$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$es una función analítica, entonces hay a lo sumo una función analítica$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$cuya restricción a$\Omega_1$es$f$. ¡Pero es perfectamente posible que no haya ninguno! Ese es el caso si, por ejemplo,$\Omega_1=D(0,1)$,$\Omega_2=\Bbb C$y$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$es definido por$f(z)=\frac1{z-2}$.