Conmutación de derivación en localización y mapa canónico.
Este problema es de la "Teoría de Galois de Ecuaciones Diferenciales Lineales" de van der Put.
Demostrar que existe una derivación única$\partial$en$RS^{-1}$(la localización de$R$con respecto a$S$) tal que el mapa canónico para$R \rightarrow RS^{-1}$viaja con$\partial$dónde$R$es un anillo conmutativo y$S \subset R$es un subconjunto multiplicativo.
Aquí está mi intento con mi comprensión aproximada de los conceptos en este problema. Dejar$\phi : R \rightarrow RS^{-1}$Sea el mapa canónico. queremos mostrar que$\partial (\phi (x)) = \phi (\partial (x))$por$x \in R$. Obsérvese que por definición,$\phi (\partial (x))$mapas$x \mapsto [\partial (x)],$la clase de equivalencia de$\partial (x)$en$RS^{-1}$(así ES como funciona el mapa canónico, ¿verdad?). Por otra parte,$\partial (\phi (x))$mapas$x \mapsto \partial ([x]) = [\partial (x)],$que es la misma clase de equivalencia en$RS^{-1}$según lo mapeado por$\phi (\partial (x)).$Así, concluimos que$\phi$y$\partial$viajar diariamente. Pero no estoy seguro de cómo mostrar que hay un único$\partial$que satisface este problema. ¿Podría alguien por favor ayudar?
En una tangente: considere el anillo polinomial$R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]$y un subconjunto multiplicativo$S \subset R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]$. Dejar$a_1, a_2, \dots , a_n \in R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]S^{-1}$ser dado. Demostrar que existe una única derivación$\partial $en$R[X_1, X_2, \dots X_n] S^{-1}$tal que el mapa canónico$R \rightarrow R[X_1, X_2, \dots ,X_n ] S^{-1}$viaja con$\partial$y$\partial (X_i) = a_i$para todos$i$. (¿Es la suposición$\mathbb{Q} \subset R$útil en absoluto?)
Respuestas
Primero, un comentario: cuando tenemos una derivación de algún anillo$R$, es típicamente una derivación de$R$como un$A$-álgebra para algún mapa fijo$A\to R$, pero no tienes$A$en su notación. (También requeriríamos que$\partial(a) = 0$para todos$a\in A$.) Sin embargo, este no es un problema que ponga en peligro la vida.
Parece que quieres mostrar que existe una derivación única$\partial' : S^{-1}R\to S^{-1}R$(supongo) que conmuta con el mapa de localización canónica$\phi$ y una derivación fija$\partial : R\to R$. No vi esta derivación original.$\partial$en la declaración; Supongo que está implícitamente arreglado. Con esta configuración, quiere probar que$$\partial'\circ\phi = \phi\circ\partial.$$
Esto es casi lo que has escrito (quiero mantener$\partial'$y$\partial$distintas para evitar confusiones). Sin embargo, no ha definido la derivación.$\partial'$en$S^{-1}R$! Has demostrado que para un elemento de$S^{-1}R$que está en la imagen de$\phi$(llámalo$\phi(x)$) Debemos tener$\partial'(\phi(x)) = \phi(\partial(x)).$pero que hace$\partial'$hacer con elementos que no son a imagen de$\phi$? Por ejemplo, si$s\in S\setminus R^\times,$que es$\phi\left(\frac1s\right)$?
Para resolver esto, deja$\partial : R\to R$ser una derivación. Suponer que$\partial' : S^{-1}R\to S^{-1}R$es una derivación de$S^{-1}R$tal que$\partial'\circ\phi = \phi\circ\partial.$Dejar$r/s\in S^{-1}R;$queremos calcular$\partial'(r/s).$Bueno, tenemos\begin{align*} \partial'(r/s) &= \partial'\left(r\cdot\frac{1}{s}\right)\\ &= r\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \partial'(r)\frac{1}{s}\\ &= r\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \frac{\partial(r)}{s}. \end{align*}
Asi que,$\partial'$Esta determinado por$\partial$y por lo que hace en los elementos de la forma$\frac{1}{s}\in S^{-1}R.$Ahora, notamos que$\partial'(1) = 0,$como$\partial'(1) = \partial'(1^2) = 2\partial'(1)$. De este modo,\begin{align*} 0&= \partial'(1)\\ &=\partial'\left(s\cdot\frac{1}{s}\right)\\ &=s\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \frac{\partial(s)}{s}\\ \implies s\partial'\left(\frac{1}{s}\right) &= -\frac{\partial(s)}{s}\\ \implies \partial'\left(\frac{1}{s}\right) &= -\frac{\partial(s)}{s^2}, \end{align*}que es exactamente lo que obtendríamos si aplicamos ingenuamente la regla del cociente del cálculo 1.
Lo que hemos demostrado es que si tal derivación$\partial'$existe, debe estar dada por la fórmula$$\partial'\left(\frac{r}{s}\right) = \frac{s\partial(r) - r\partial(s)}{s^2}.$$¡ Esto prueba la unicidad si tal derivación existe! Ahora te dejo que lo compruebes$\partial'$dada por esta fórmula es (a) bien definida y (b) una derivación.
Editar: originalmente pensé que la segunda parte de la pregunta quería$S\subseteq R.$
Para su segunda pregunta, la idea es esencialmente la misma. necesitas definir$\partial'\left(\frac{f}{g}\right)$para cualquier$f\in R[x_1,\dots, x_n]$y$g\in S.$Como arriba, puede demostrar que debe tener$$ \partial'\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{\partial'(f)g - f\partial'(g)}{g^2}, $$así que simplemente necesitas definir qué$\partial'$hace sobre elementos de$R[x_1,\dots, x_n].$
Ahora, observe que dado que cualquier derivación debe ser lineal, basta con definir$\partial'$en monomios$rx_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}.$La regla de Leibniz implica que tenemos$$ \partial'(rx_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}) = \partial(r)x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n} + r\sum_{i = 1}^n x_1^{m_1}\cdots m_i x_i^{m_i - 1}\cdots x_n^{m_n}\partial(x_i) $$(¡debe verificar esto si no es obvio!). Ahora, vemos que para definir$\partial',$es suficiente para definir$\partial'(x_i)$para cada$i.$Te dejo a ti mostrar esa configuración.$\partial'(x_i) = a_i$hace la funcion$\partial'$una derivación (no es necesario suponer que$\Bbb{Q}\subseteq R$).