¿Conmutan elementos de dos subgrupos normales abelianos?
Entonces $H$ y $K$son subgrupos abelianos normales de algún grupo. Es verdad para todos$h \in H$ y para todos $k \in K$ ese $hk=kh$? No creo que la declaración sea válida, pero no puedo encontrar un contraejemplo (bastante simple).
Respuestas
Dejar $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ ser el grupo de cuaterniones de orden $8$. Considerar$H=\{\pm1,\pm i\}$ y $K=\{\pm1,\pm j\}$.
El contraejemplo más fácil es el grupo diedro $D_8$, digamos generado por $a$ de orden $4$ y $b$ de orden $2$. Cada elemento de$D_8$ se encuentra en un subgrupo normal de orden $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ y $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Estos son, por supuesto, todos abelianos, ya que tienen orden$4$. Si su declaración se mantuvo, entonces$D_8$ por tanto, sería abeliano, que por supuesto no lo es.
El ejemplo de $Q_8$de las otras dos respuestas es perfectamente válida, por supuesto. De hecho, si$G$ es cualquier grupo de orden no abeliano $p^3$ entonces cada elemento se encuentra en un subgrupo de orden $p^2$ (que es necesariamente abeliano y normal), por lo que todo grupo de orden no abeliano $p^3$ es un contraejemplo.
Cualquier grupo hamiltoniano le dará un contraejemplo por definición, ya que cualquier subgrupo cíclico es abeliano y normal, sin embargo, puede encontrar dos subgrupos cíclicos con generadores que no se conmutan.
El ejemplo más pequeño es el grupo de cuaterniones $Q_8$.