Contabilidad del conjunto de$t$tal que$E-tB$no es inyectable
Considere un espacio de Hilbert separable$\mathcal H$y dos operadores continuos autoadjuntos compactos$E,B:\mathcal H \to \mathcal H$.$E$es inyectable.
Ahora considere el conjunto$$\tau = \{t\in [0,1]: E-tB\;\; \mathrm{is}\;\mathrm{NOT}\; \mathrm{injective} \}\,.$$
Creo que la cardinalidad de$\tau$es a lo sumo contable.
Claramente todo si es fácil si$E$y$B$comparten una base de funciones propias. En efecto, dado que para todos$t$ $E-tB$es compacto y autoadjunto, podemos escribir$$E-tB = \sum_{n=0}^\infty (\lambda_n - t\mu_n)P_n$$dónde$P_n$son los proyectores en los espacios propios y$\lambda_n$y$\mu_n$los valores propios de$E$y$B$respectivamente. Entonces en este caso$$\tau = \{t\in [0,1]: \lambda_n = t \mu_n\;\;\mathrm{for}\;\mathrm{some}\;n\}\,,$$que es claramente contable.
Pero, ¿cómo tratar el caso general? ¿La propiedad sigue siendo cierta?
Respuestas
Aquí hay una respuesta parcial en el caso especial de que$E\geq 0$.
Supongamos por contradicción que$\{t_i\}_{i\in I}$es un subconjunto incontable de$[0,1]$tal que$E-t_iB$no es inyectable para todos$i$y elija vectores distintos de cero$\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$tal que$E(x_i)=t_iB(x_i)$, para todos$i$.
Si$t_i\neq t_j$Darse cuenta de$$ t_i\langle B(x_i),x_j\rangle = \langle E(x_i),x_j\rangle = \langle x_i,E(x_j)\rangle = \langle x_i,t_jB(x_j)\rangle = t_j\langle B(x_i),x_j\rangle , $$asi que$\langle B(x_i),x_j\rangle =0$, y en consecuencia también$\langle E(x_i),x_j\rangle =0$. usando eso$E$es positivo podemos escribir$E=E^{1/2}E^{1/2}$, asi que$$ 0=\langle E(x_i),x_j\rangle = \langle E^{1/2}(x_i),E^{1/2}(x_j)\rangle , $$y se sigue que$\{E^{1/2}(x_i)\}_{i\in I}$es una familia incontable de vectores ortogonales por pares en$H$, una contradicción.
EDITAR (1): Aquí hay otro hecho interesante. Si la respuesta a la pregunta original es afirmativa, entonces también es afirmativa sin la hipótesis de que$B$y$E$son autoadjuntos.
He aquí por qué: supongamos que los operadores compactos (posiblemente no autoadjuntos)$B$y$E$, con$E$inyectiva, dar un contraejemplo, es decir, uno puede encontrar un subconjunto incontable$\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$y una familia correspondiente$\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$de vectores distintos de cero tales que$E(x_i)=t_iB(x_i)$, para todos$i$.
Considere los operadores$\tilde B$y$\tilde E$, actuando$H\oplus H$, definido de la siguiente manera:$$ \tilde B = \pmatrix{0 & B^*\cr B & 0}, \qquad \tilde E = \pmatrix{0 & E^*\cr E & I}, $$dónde$I$denota el operador de identidad en$H$. Considere también los vectores$\tilde x_i\in H\oplus H$dada por$\tilde x_i = \pmatrix{x_i\cr 0}$.
Un cálculo fácil muestra que$\tilde E(\tilde x_i)=t_i\tilde B(\tilde x_i)$, asi que$\tilde E-t_i\tilde B$no es inyectable. Evidentemente ambos$\tilde B$y$\tilde E$son compactos y autoadjuntos, y a continuación mostraremos que$\tilde E$es inyectable. Para esto supongamos que$\pmatrix{x\cr y}$se encuentra en el espacio nulo de$\tilde E$. Por lo tanto, se sigue que$E^*(y) = 0$y$E(x)+y=0$. Aplicar$E^*$a esta última identidad le da$$ 0 = E^*E(x)+E^*y=E^*E(x), $$por eso$$ 0 = \langle E^*E(x), x\rangle = \langle E(x), E(x)\rangle = \Vert E(x)\Vert ^2, $$llevando a$E(x)=0$, y también$x=0$, porque$E$es inyectable. Enchufando esto en$E(x)+y=0$, finalmente da$y=0$, también.
Por lo tanto la pareja$(\tilde B, \tilde E)$proporciona un contraejemplo para la pregunta original que suponemos que tiene una respuesta positiva. Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, por lo tanto, demostrando la afirmación.
EDITAR (2): ¡Las hipótesis de compacidad también se pueden eliminar! He aquí por qué: supongamos que los operadores acotados (posiblemente no compactos)$B$y$E$, con$E$inyectiva, dar un contraejemplo, es decir, uno puede encontrar un subconjunto incontable$\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$tal que$E-t_iB$no es inyectable para todos$i$.
Todo espacio de Hilbert separable admite un operador compacto inyectivo (por ejemplo, el operador diagonal con entradas diagonales$1,1/2,1/3,\ldots $en$l^2$) Entonces deja$K$ser tal operador en$H$. Entonces claramente$KE$es inyectable pero$$ KE-t_iKB = K(E-t_iB) $$no es. Así, el par de operadores compactos$(KB, KE)$proporciona un contraejemplo como en EDITAR (1) que a su vez puede convertirse en un contraejemplo de la pregunta original.
EDIT (3): ¡En esta publicación se encontrará un contraejemplo para la situación en EDIT (2), por lo que la pregunta finalmente se resuelve en NEGATIVO!
Para ser un poco más específico,$E$se toma como el operador de identidad y$B$el cambio hacia atrás (tenga en cuenta que para$t$distinto de cero uno tiene eso$E-tB$es inyectiva iff$t^{-1}E-B$es).