Continuidad de $f$ a $x=0$

Question

¿Podría ayudarme con la siguiente pregunta del cálculo de Adam?

Dejar $$ f(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x=1, 1/2, 1/3, \ldots \\ x^2, & \text{otherwise.} \end{cases} $$ ¿Es continuo en $x=0$?

Según la definición de continuidad, no es continua en $x=1/2, 1/3, 1/4, \ldots$ A $x=0$ es continuo, pero no puedo entender cómo es continuo en $x=0$ cuando los valores de $f$ se acercan $0$a dos ritmos diferentes. Quiero decir, en cualquier intervalo que contenga$x=0$hay puntos en los que la función es discontinua. ¿Es suficiente confiar en la definición de continuidad?

Answer 1

Dejar $\epsilon>0$ser arbitrario. Junto a la propiedad de Arquímedes existe un$n\in\mathbb N$ tal que $\epsilon>1/n$. Dejar$\delta=1/n$.

Ahora deja $|x|<\delta$ser arbitrario. Si$x=1/m$ para algunos $m\in\mathbb N$, entonces $|f(x)-f(0)|=1/m<1/n<\epsilon$.

De otra manera, $|f(x)-f(0)|=x^2\le |x|<\delta=1/n<\epsilon$.

Así, $f$ es continuo en $x=0$.

Answer 2

Basta señalar que para $|x|<1$, tienes $$ |f(x)-0| \leq x \to 0, \quad x\to 0 $$ Esto implica que $\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0)$, y por lo tanto $f$ es continuo en $x=0$.

Answer 3

No hay una "tasa" de aproximación. Nada se acerca a ningún lado.

La función es continua en $a$ si, por cada $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que, por $|x-a|<\delta$, se mantiene $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

En tu caso, $|f(x)|<\varepsilon$ es la desigualdad a probar.

Lo necesitamos $1/n<\delta$ implica $1/n<\varepsilon$, por lo que un primer intento es elegir $\delta=\varepsilon$. Sin embargo, también necesitamos que$|x|<\delta$ implica $|x^2|<\varepsilon$ para puntos que no son de la forma $1/n$. OK, elijamos$$ \delta=\min(\varepsilon,1) $$ Ahora si $1/n<\delta$, entonces $1/n=|f(1/n)|<\varepsilon$. Para los otros puntos,$$ |f(x)|=|x^2|<|x|<\delta\le\varepsilon $$ y terminamos.