Continuidad de una retracción de deformación inusual
Supongamos que se nos da una cadena contable de espacios topológicos $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ y deja $X = \bigcup_n X_n$; y supongamos además que para cada$n$ tenemos una retracción de deformación $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. Me gustaría construir una retracción de deformación de$X$ a $X_0$ mediante la realización de $F_n$ en el intervalo de tiempo $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$, sosteniendo cada punto de $X_{n+1} - X_n$ estacionario fuera de este intervalo.
Tengo problemas para mostrar que este mapa es continuo. Podemos tener continuidad$X \times (0,1]$ fácilmente del lema de pegado, pero no sé cómo ampliarlo a todos los $X \times I$, debido al extraño comportamiento de la función al inicio del intervalo.
EDITAR: Acabo de aprender que el mapa no es continuo en general, así que vamos $X$ ser un complejo CW y el $X_n$es la skeleta asociada.
Respuestas
No es cierto en general, por lo que tendrá que averiguar qué hipótesis adicionales se necesitan para la prueba y son verdaderas en cualquier aplicación que tenga en mente.
Para un contraejemplo simple, tome $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$con la topología del subespacio. Y luego toma$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$también con la topología del subespacio. Cada$X_n$ la deformación se retrae a $(1,0)$, pero $S^1$ no se retrae la deformación $(1,0)$.
Lanzaré una situación interesante y amplia en la que funciona en general, a saber, donde $X$es un complejo de CW. La topología CW se puede utilizar para mostrar que la extensión continua a$X \times [0,1]$ existe.